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1、2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案1章末复习课对应学生用书 P37对应学生用书 P38将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程的考查有三个热点考向，其一给出参数方程，直接化为普通方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线例 1 在平面直角坐
2、标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为Error!(t 为参数)和Error!( 为参数)，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_解析 由Error!得 y，又由Error!x得 x2y22.由Error!得Error!即曲线 C1与 C2的交点坐标为(1,1)答案 (1,1)例 2 已知曲线 C 的参数方程为2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案2Error!(t 为参数，t0)，求曲线 C 的普通方程解 因为 x2t 2，所以 x22t ，故曲线 C 的普通方程为 3x2y60.1t1ty3例 3 已知参数方程Error!(t0)(1)若 t 为常数
3、， 为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若 为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？解 (1)当 t1 时，由得 sin ，xt1t由得 cos .yt1t1.x2(t1t)2y2(t1t)2它表示中心在原点，长轴长为 2|t |，1t短轴长为 2，焦点在 x 轴上的椭圆|t1t|当 t1 时，y0，x2sin ，x2,2，它表示在 x 轴上2,2的一段线段(2)当 (kZ)时，由得t .k2xsin 1t由得t .ycos 1t平方相减得4，即1，x2sin2y2cos2x24sin2y24cos2它表示中心在原点，实轴长为 4|sin |，虚轴长为 4|cos |，焦点在 x 轴上的
4、双曲线当 k(kZ)时，x0，它表示 y 轴；当 k (kZ)时，y0，x(t )21tt 2(t0 时)或 t 2(t0 时)，1t1t|x|2.方程为 y0(|x|2)，它表示 x 轴上以(2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案3例 4 已知线段|BB|4，直线 l 垂直平分 BB交 BB于点 O，并且在 l 上 O 点的同侧取两点 P，P，使|OP|OP|9，求直线 BP与直线 BP 的交点 M 的轨迹解 如图，以 O 为原点，l 为 x 轴，BB为 y 轴，建立直角坐标系 xOy.依题意，可知 B(0,2)，
5、B(0，2)，又可设 P(a,0)，P，其中 a 为参数，可取(9a，0)任意非零的实数直线 BP 的方程为 1，xay2直线 BP的方程为 1.x9ay2两直线方程化简为Error!解得直线 BP 与 BP的交点坐标为Error!(a 为参数)，消去参数 a，得1(x0)x29y24所求点 M 的轨迹是长轴为 6，短轴为 4 的椭圆(除去 B，B点).直线参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，因此是高考重点考查的一个考点，主要考查直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点
6、等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义例 5 如图，已知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为 ，直线 l 和抛物线 y22x 相交于 A，B43两点，设线段 AB 的中点为 M，求：(1)P，M 两点间的距离|PM|；2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案4(2)线段 AB 的长|AB|.解 (1)直线 l 过点 P(2,0)，斜率为 ，设直线的倾斜角为 ，43tan ，sin ，cos ，434535直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程
7、y22x 中，整理得8t215t500，(15)248(50)0.设这个二次方程的两个根分别为 t1，t2，由根与系数的关系，得 t1t2，t1t2，158254由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|.|t1t2|21516(2)|AB|t2t1|.t1t224t1t25 738例 6 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程 2sin .5(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于 A，B.若点 P
8、 的坐标为(3，)，求|PA|PB|.5解 (1)由 2sin ，得 x2y22y0，即 x2(y)25.555(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得225，(322t)(22t)即 t23t40.2由于 (3)24420，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，2所以Error!又直线 l 过点 P(，)，35故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.2圆锥曲线参数方程的应用由于圆、椭圆、双曲线的参数方程均以一个角为参数，这给我们解决与其上动点有关2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案5的距离的最值、定值、轨迹等问题带来很大
9、的方便，因此高考中主要考查圆锥曲线参数方程在这些方面的应用，当圆锥曲线由普通方程给出时，需先化为参数方程再应用，最终转化为三角的运算问题，求解例 7 点 P 在圆 x2(y2)2 上移动，点 Q 在椭圆 x24y24 上移动，求|PQ|的最14大值及相应的点 Q 的坐标解 设圆的圆心为 O，在POQ 中，|PQ|PO|OQ| |OQ|，12设 Q 点的坐标为(2cos ，sin )，而 O(0,2)，则|OQ|24cos2(sin 2)232.(sin 23)283283|OQ|，23 21此时 sin ，cos .2353|PQ|的最大值为 ，相应点 Q 的坐标为1223 21.(235，2
10、3)例 8 设 P 是椭圆 4x29y236 上的一个动点，求 x2y 的最大值和最小值解 法一：令 x2yt，且 x，y 满足 4x29y236，故点(x，y)是方程组Error!的公共解消去 x 得 25y216ty4t2360，由 (16t)2425(4t236)0，即 t225，解得5t5，x2y 的最大值为 5，最小值为5.法二：由椭圆方程 4x29y236，得1，x29y24设 x3cos ，y2sin ，代入 x2y 得x2y3cos 4sin 5sin()，由于1sin()1，所以55sin()5.2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案6x2y 的
11、最大值为 5，最小值为5.对应学生用书P40一、选择题1直线Error!(t 为参数)上与点 P(4,5)的距离等于的点的坐标是( )2A(4,5) B(3,6)C(3,6)或(5,4) D(4,5)或(0,1)解析：选 C 由题意，可得|t|t，将 t 代入原方程，得Error!或 32 32233Error!所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)2椭圆Error!上的点到直线 4x3y200 的最小距离为( )3A. B.4 434320 4343C. D244 4343解析：选 A 点 P(3cos ，4sin )到直线 4x3y200 的距离 d3|12cos 12 3sin 20|
12、43.当 sin1 时，|24sin(6)20|43(6)d 取最小值为4434 43433设 r0，那么直线 xcos ysin r 与圆Error!( 是参数)的位置关系是( )A相交 B相切C相离 D视 r 的大小而定解析：选 B 易知圆的圆心在原点，半径是 r，则圆心(0,0)到直线的距离为dr，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切|00r|cos2 sin2 4直线 yx与圆心为 D 的圆Error!(0,2)交于 A，B 两点，则直线 AD 与332BD 的倾斜角之和为( )A. B.76542017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案7C. D.4353解
13、析：选 C 由已知得圆 D：(x)2(y1)23，3则圆心 D 到直线 yx的距离等于 d，332|3331 2|13162故 cos ADB，12d322ADB ，ADB ；1242又 ADBD，因此有DBA .4而直线 yx的倾斜角是 ，因此结合图形可知，在直线 AD，BD 中必有一条直3326线的倾斜角等于 ，64另一条直线的倾斜角等于 ，642因此直线 AD，BD 的倾斜角之和等于 2 .(64)243二、填空题5设直线 l1的参数方程为Error!(t 为参数)，直线 l2的方程为 y3x4，则 l1与 l2间的距离为_解析：将直线 l1的参数方程化成普通方程为 y3x2，又 l2：
14、y3x4，故 l1l2，在l1上取一点(0，2)，其到 l2：3xy40 的距离就是 l1与 l2的距离，即 d.|024|103 105答案：3 1056(湖北高考)已知曲线 C1的参数方程是Error!(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2.则 C1与 C2交点的直角坐标为_解析：由题意，得Error! x23y2(x0，y0)，曲线 C2的普通方程为 x2y24，联立Error!，得Error!即 C1与 C2的交点坐标为(，1)32017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案8答案：(，1)37直线Error!(t 为参数)与曲线Error!( 为参数)的交点个数为_解析：直线的普通方程为 xy10，圆的普通方程为 x2y232，圆心到直线的距离 d3，故直线与圆的交点个数是 2.22答案：28已知圆 C：Error!( 为参数)，则它的普通方程为_设 O 为坐标原点，点M(x0，y0)在 C 上运动，点 P(x，y)是线段 OM 的中点，则点 P 的轨迹方程为_解析：由Error!知Error!(x
