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1、2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案1章末复习课对应学生用书 P18对应学生用书 P19在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程(3)代入法：如果动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x1，y1)，而 Q(x1，y1)又在某
2、已知曲线上，则可先列出关于 x，y，y1，x1的方程组，利用 x，y 表示 x1，y1，把 x1，y1代入已知曲线方程即为所求(4)参数法：动点 P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程例 1 如图，圆 O1和圆 O2的半径都是 1，|O1O2|4，过动点2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案2P 分别作圆 O1和圆 O2的切线 PM，PN(M，N 分别为切点)使得|PM|PN|，试建立适当2的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程解如图，以直线 O1O2为 x 轴，线段 O1O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别
3、为 O1(2,0)，O2(2,0)设 P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2.2即(x2)2y212(x2)2y21即 x212xy230.即动点 P 的轨迹方程为(x6)2y233.求曲线的极坐标方程在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系的一个重要考向，重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标 ， 的关系式 f(，)表示出来，就得到曲线
4、的极坐标方程例 2 已知 RtABO 的直角顶点 A 在直线 cos 9 上移动(O 为原点)，又AOB30，求顶点 B 的轨迹的极坐标方程解 如图，设 B(，)，A(1，1)则 cos 301，即 1.32又1cos 19，而 130，cos 30cos9，即 cos6.(6)(6)3 若点 B 的位置如图所示，同理得点 B 的轨迹方程为cos6.(6)3综上所述，点 B 的轨迹方程为 cos6.( 6)32017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案3例 3 已知定点 A(a,0)，动点 P 对极点 O 和点 A 的张角OPA .在 OP 的延长线上3取点 Q，使|P
5、Q|PA|.当 P 在极轴上方运动时，求点 Q 的轨迹的极坐标方程解 设 Q，P 的坐标分别是(，)，(1，1)，则 1.在POA 中，1sin，asin3(23)|PA|，又|OQ|OP|PA|，asin sin32acos.(3)极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角坐标的互化以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解解决此类问题，要熟知：互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为xcos ，ysin 2x2y2，tan yxx 0直角坐标方程化极
6、坐标方程可直接将 xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 cos ，sin 的整体形式，然后用 x，y 代替较为方便，常常两端同乘以 即可达到目的，但要注意变形的等价性例 4 把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解 (1)2acos ，两边同时乘以 ，得 22acos ，即 x2y22ax.整理得 x2y22ax0，即(xa)2y2a2，是以(a,0)为圆心，以 a 为半径的圆(2)两边同时乘以 得 29(sin cos )，即 x2y29x9y，2017-2
7、018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案4又可化为22，(x92)(y92)812是以为圆心，以为半径的圆(92，92)9 22(3)将 4 两边平方得 216，即 x2y216，是以原点为圆心，以 4 为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即 2x3y5，是一条直线例 5 将下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)；(2)2；(3)2cos 7sin .56解 (1)tan ， tan.yxyx5633yx0.33(2)2，0 或 1.x2y20 或 x2y21.(3)两边同乘以 得：2cos 7sin .2x7y0.例 6 若两圆的极坐标方程分别为 2cos 和 2sin ，
8、求两圆的公共弦长解 法一：将两圆方程化为直角坐标方程为：x2y22x0 和 x2y22y0.由Error!得 yx，即为公共弦所在直线方程由Error!得交点坐标为(0,0)，(1,1)弦长为.0120122法二：设除极点外的公共点坐标为 P(，cos )(0)则 2cos 2sin ，tan 1.由于 0 ， .242cos .42公共弦长为.2对应学生用书P202017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案5一、选择题1在极坐标系中，已知两点 A，B，则 A，B 两点间的距离是( )(3，3)(1，23)A1 B2C3 D4解析：选 D 设极点为 O，AOB，23(3
9、)A，O，B 三点共线A，B 两点间的距离|AB|OA|OB|314.2在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是( )(8，6)A. B.(8，6)(8，56)C. D.(8，56)(8，6)解析：选 A 点(，)关于极点对称的点为(，)，故关于极点对称的点的一个坐标为，即.(8，6)(8，76)(8，6)3在极坐标系中，已知一个圆的方程为 12sin，则过圆心与极轴垂直的直线(6)的极坐标方程是( )Asin 3 Bsin 333Ccos 3 Dcos 3解析：选 C 圆 12sin( )化为 x2y26x6y0，其圆心为(3,3)，所633求直线方程为 x3 化为极坐标方程：cos
10、3.4直线 和直线 sin()1 的位置关系是( )A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：选 B 直线 化为直角坐标方程为 yxtan，sin()1 化为 sin cos cos sin 1，即 yxtan.1cos 所以两直线平行二、填空题5已知一条直线的极坐标方程为 sin，则极点到该直线的距离是(4)222017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案6_解析：sinsin cos cos sin sin cos ，(4)44222222sin cos 1，即 xy1.则极点到该直线的距离 d.|001|222答案：226(上海高考)在极坐标系中，曲线 cos 1
11、 与 cos 1 的公共点到极点的距离为_解析：联立得 (1)1，又 0，故两曲线的公共点到极点的距离为1 52.1 52答案：1 527极坐标方程 52cos 22240 表示的曲线焦点的极坐标为_解析：极坐标方程 52cos 22240 化为52(cos2sin2)2240，即 3x22y212.得标准方程为1.x24y26所以 a24，b26，c.10所以两焦点的极坐标为(，0)，(，)1010答案：(，0)，(，)10108如图，在极坐标系中，过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 .若将 l 的极坐标方6程写成 f()的形式，则 f()_.解析：在直线 l 上任取点 P(，)，在
12、OPM 中，由正弦定理得2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案7，即，化简得 ，故 f().OMsin OPMOPsin OMP2sin(6)sin 561sin(6)1sin(6)答案：1sin(6)三、解答题9在极坐标系中 P 是曲线 12sin 上的动点，Q 是曲线 12cos上的动点，(6)试求 PQ 的最大值解：以极点 O 为原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系 xOy，将方程 12sin 化为直角坐标方程为 x2y212y，它表示圆心为(0,6)，半径为 6 的圆将 12cos化为直角坐标方程为(6)(x3)2(y3)236，它表示以(3，3)为圆心，6
13、 为半径的圆33由圆的位置关系可知，当 P，Q 所在直线为连心线所在直线时，PQ 长度可取最大值，且最大值为6618.3 323210已知 A(1,0)，B(1,4)，在平面上动点 P 满足4，点 Q 是点 P 关于直线PA PB l：y2(x4)的对称点，求动点 Q 的轨迹方程解：法一：设 P(x，y)，则(1x，y)，(1x,4y)，PA PB 故由4PA PB (x1)(1x)(y)(4y)4，即 x2(y2)232.P 的轨迹是以 C(0,2)为圆心，以 3 为半径的圆点 Q 是点 P 关于直线 y2(x4)的对称点，动点 Q 的轨迹是一个以 C0(x0，y0)为圆心，半径为 3 的圆，其中 C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线 y2(x4)的对称点，即直线 y2(x4)与 CC0垂直，且过 CC0的中点，于是有Error!即Error!Error!故动点 Q 的轨迹方程为(x8)2(y2)29.法二：设 P(x，y)，则(1x，y)，(1x,4y)，PA PB 2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案8故由4(x1)(1x)(y)(4y)4，即 x2(y2)232(*)PA PB 设点 Q 的坐标为 Q(u，v
