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1、第2讲 填空题的做法 1.填空题的类型填空题具有小巧灵活、结 构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写.2.填空题的特征只需要将 结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.3.解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数形结合法等.一、 直接法 例1
2、（2009海口模拟）在等差数列an中，a1=-3，11a5=5a8-13，则数列an的前n项和Sn的最小值为 .思维启迪 计算出基本量d，找到转折项即可.解析 设公差为d，则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13，d= .数列an为递增数列.令an0，-3+（n-1） 0，n ，nN*，前6项均为负值，Sn的最小值为S6=- .答案 变式训练1 （2009全国理，14）设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=72，则a2+a4+a9= .解析 设等差数列的首项为a1，公差为d,则a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4d),又S9=72，S9=9a1+ d=9(a1
3、+4d)=72,a1+4d=8,a2+a4+a9=24. 24二、 特例法 例2 （2009东营调研）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 = .思维启迪 由题意知，本题结果与ABC的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可.解析 方法一 取特殊值a=3,b=4,c=5，则cos A=,cos C=0, .方法二 取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= ,.答案 探究提高 当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧.在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特
4、殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程. 变式训练2 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|= ，则 = .解析 特殊化，取a=1,b=0,c=- ,设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1=x2= ,y1y2=- =- , =x1x2+y1y2= - =- .三、 转化法 有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生 为熟悉，从而将问题解决.例3 若数列an中，a1=1,an+1=3Sn(n1)，则Sn= .解析 方法一 an+1=3Sn(n1),an=3Sn-1(n2),-得an+
5、1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2),an+1=4an(n2)，又a2=3S1=3a1=3， =4(n2)，a2,a3,an是首项为3，公比为4的等比数列，Sn=当n=1时，4n-1=1，即Sn=4n-1(n1).方法二 an+1=3Sn(n1)，Sn+1-Sn=3Sn（n1），即Sn+1=4Sn（n1），又S1=a1=1， =4（n1），即Sn是首项为1，公比为4的等比数列.Sn=4n-1（n1）.答案 4n-1探究提高 以上两种解法体现了对关系式an+1=3Sn（n1）的两种不同的处理方法，方法一是消去Sn，此时要用变量观点看待关系式an+1=3Sn（n1），先得到其姊妹式an=
6、3Sn-1（n2），然后通过两式相减得到an+1与an的关系式，再对an+1与an的关系式进行处理，求出an的通项公式，进而求出Sn.方法二是利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1从而得到Sn+1与Sn的关系式，通过研究数列Sn的特性，再求出其通项公式.变式训练3 二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是 .解析 据表中可得c=-6,ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-2,x2=3, =-6得a=1,- =-2+3得b=-1y=x2-x-6,x2-x-60的解集是(-,-2)(3,+).(-,-2)(3,+)x-3-2-10234y60-
7、4-6-406四、 图象分析法（数形结合法） 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这 类问题的几何意义一般较为明显.例4 已知A=x|-2xa，B=y|y=2x+3，xA，C=z|z=x2，且xA，若C B，则实数a的取值范围为 .解析 y=2x+3在-2,a上是增函数，-1y2a+3，即B=y|-1y2a+3.作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如图所示.答案 （-,-2） ,3探究提高 解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言
8、，利用数形结合的思想来解决.变式训练4 若a0，b0，且当 时，恒有ax+by1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 .解析 平面区域如图所示， 令目标函数z=ax+by,恒有ax+by1，zmax1，而z=ax+by是一组斜率为- 的直线，因为b0，所以直线越向上z值越大，当- -1时，z在A点取最大，zmax=b1,当- 时，有2个实根.综上所述，可知实根个数最多为4个.44.离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”. 设 =1(ab0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 ABF = .解析 本题主要考查“优美椭圆”的相关知识，它必
9、然具有椭圆的相关性质，不妨设c= -1， a=2，B为椭圆的短轴的一个上端点，则b= .有F（1- ，0），A（2，0），B（0， ）.所以 =（2，- ）, =(1- ,- ).则 =0，所以夹角为90，即ABF=90.905.已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则 = .解析 由已知得 =a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),a1=d, .6.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， =m（ ）,则实数m= .解析 （特殊值法）当B=90时，ABC为直角三角形，O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.，m=1.17.圆x2+y2=1的任意一
10、条切线l与圆x2+y2=4相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2= .解析 如图，AOB中，OA=OB=2，OCAB，OC=1，因此AOB=120.所以x1x2+y1y2= =| | |cos 120=-2.-28.直线y=kx+3k-2与直线y=- x+1的交点在第一象 限，则k的取值范围是 .解析 因为y=kx+3k-2，即y=k(x+3)-2，故直线过 定点P（-3，-2），而定直线y=- x+1在两坐标轴 上的交点分别为A（4，0），B（0，1）.如图所示，求得 0时的图 象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意义使图象作平移变换，由此确定-a
11、的取值范围，最后求出a的取值范围.（-,2）10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是 .解析 二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-x的解集为（1，2），即不等式f(x)+x0的解集为(1,2),则设f(x)+x=a(x-1)(x-2)(ax的解集为 .解析 令y1= ,y2=x，则不等式 x的解就是使y1= 的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标.如图所示：不等式的解集为x|xAx0,- )的图象如下图所示，则 = .解析 由图象知函数y=sin( x+ )的周期为.当x= 时，y有最小值-1，因此 (kZ).- , .15.对于满足0p4的一切实数x，不等式x2+px 4x+p-3恒成立，则x的取值范围是 .解析 由不等式x2+px4x+p-3恒成立.得（x-1）p+x2-4x+30恒成立.构造函数f（p）=（x-1）p+x2-4x+3.当x=1时，f（p）=0，不满足f（p）0.f（p）表示p的一次函数，p0，4函数f（p）的图象是一条线段，要使f（p）0 在0，4上恒成立，需满足 ，即解得x-1或x3.所以x的取值范围是（-，-1）（3，+）.答案 （-，-1）（3，+）返回
