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1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.43.4 不等式的实际应用不等式的实际应用1能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和 方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等) 2了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数 学意识和情感态度1例题中的结论若ba0，m0，则_ .am bma b另外，若ab0，m0 时，则有_成立am bm【做一做】已知a，b是正数，试比较与的大小2 1 a1 bab2不等式解决实际问题的步骤 (1)_：用字母表示题中的未知数 (2)_：找出题中的不等量关系，列出关于未
2、知数的不等式(组) (3)_：运用不等式知识求解不等式，同时要注意 _ (4)答：规范地写出答案在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠 定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不 等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程 剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时 也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得 非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手： (1)略读识大意应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大这就
3、需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题， 是求最值还是要解不等式得出结论等)条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念， 可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2(2)细读抓关键题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是 实现综合认知的出发点因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含 义及各量之间的关系 (3)精读巧转换领会题意的关键是“内部转化” ，即把一个抽象的内容转化为一个具 体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，
4、总之，大脑要有灵活的转 化思维 二、常见的不等式实际应用类型 剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种： (1)作差法解决实际问题 作差法的依据是ab0ab，其基本步骤是： 理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来 作差，分析差的符号 将作差后的结论转化为实际问题的结论 (2)应用均值不等式解决实际问题均值不等式：a，bR R，(当且仅当ab时，等号成立)ab 2ab当abP(定值)，那么当ab时，ab有最小值 2；P当abS(定值)，那么当ab时，ab有最大值S2.1 4注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等” 为了创造利用均值 不等式的条件，常用技巧有配凑因子、
5、拆项或平方 (3)应用一元二次不等式解决实际问题 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为： 理解题意，搞清量与量之间的关系； 建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； 解所列的一元二次不等式得到实际问题的解在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲 目使用题型一 一元二次不等式的实际应用 【例 1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：sxx2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5 m，那么这辆汽车刹1 201 180车前的车速至少为多少(精确到 0.01 km/h)? 分析
6、：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等 式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围 反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型防 止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x88.94 这一情况 题型二 利用均值不等式解应用题 【例 2】某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元问这种汽车使用多少年2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3时，它的年平均费用最少？ 分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维
7、修费逐年递增，构成一 个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y.列出函数关 系式，再求解 反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变 量设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把 实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案 题型三 易错辨析 【例 3】甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为 常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(qp)已知船每小时的燃料费用(元)与船 在静水中的速度v(
8、km/h)的平方成正比，比例系数为k. (1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数 的定义域； (2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为h，s vp则ykv2.s vpksv2 vp故所求函数为y，其定义域为v(p，qksv2 vp(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且vp0，故有ksksv2 vpv2p2p2 vpks(vp2p)ks(2p2p)4ksp，p2 vp当且仅当vp，即v2p时等号成立p2 vp所以当船的实际前进速度为p km/h 时，全程燃料费用最少 错因分析：错解中
9、船在静水中的速度v2p km/h 应不超过q km/h，事实上 2p与q的 大小关系并不明确，因此需分 2pq和 2pq两种情况进行讨论1 某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1) 按照使用面积缴纳，每平方米 4 元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米 3 元李明家的使用 面积是 60 平方米如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供 暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( ) A70 平方米 B80 平方米 C90 平方米 D100 平方米 2 一元二次不等式ax22x1 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ) Aa|a1 Ba
10、|a1 且a0 Ca|a1 Da|a1 且a0 3 某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x3)万元，销售总收入为(2x25)万元， 如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为_(百件)2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案44 用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格 每 1 m 分别为 3 元和 5 元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过 100 元，则做成矩形 框架围成的最大面积是_ 5 某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台，每批都购入x 台(xN N)，且每批均需运费 400 元，贮存购
11、入的电视机全年所付保管费与每批购入电视 机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入 400 台，则全年需用去运输和保管费用总计 43 600 元，现在全年只有 24 000 元资金可以用于支付这笔费用请问：能否恰当安排每批进 货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理1 a b 【做一做】解：解：a0，b0， 20.1 a1 b1 ab.2 1 a1 b221 abab即(当且仅当ab时，等号成立)2 1 a1 bab 2(1)设未知数 (2)列不等式(组) (3)解不等式(组) 未知数在实际问题中的取值 范围 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】解：解：
12、设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h.根据题意，有xx239.5.1 201 180 移项整理，得x29x7 1100. 显然0，方程x29x7 1100 有两个实数根， 即x188.94，x279.94. 然后，画出二次函数yx29x7 110 的图象由图象得不等式的解集为 x|x88.94 或x79.94 在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km/h. 【例 2】解：解：设汽车使用的年数为x. 由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元” ，可知汽车每年维修费构 成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列因此，汽车使用x
13、年总的维修费用为x万元0.20.2x 2 设汽车的年平均费用为y万元，则有2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5y1123.100.9x0.20.2x2xx10x0.1x2 x10 xx 1010 xx 10当且仅当，即x10 时，等号成立，即y取最小值10 xx 10 答：汽车使用 10 年时年平均费用最少 【例 3】正解：正解：(1)同错解(1) (2)解题过程同错解(2) 若 2pq，则当v2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h. 若 2pq，当v(p，q时，ks.ksv2 vpksq2 qp(qv)(pqpvqv) (vp)(qp) vp0，qp
14、0，qv0，pqpvqvpvpvqv(2pq)v0，.ksv2 vpksq2 qp 当且仅当vq时等号成立，即当vq时，y取得最小值此时船的实际前进速度为 (qp) km/h. 随堂练习随堂练习巩固巩固 1B 根据使用面积应该缴纳的费用为 604240 元，设建筑面积为x平方米，则根 据他所选择的方案，知 3x2400，所以x80，即建筑面积不超过 80 平方米 2D 一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式44a0，即a1， 且二次项系数不能为 0，即a0.所以a的取值范围是a|a1 且a0 32 要不亏本只需收入不小于成本，即 2x25(3x3)0，即 2x23x20，解得x 或x2，
15、而产品件数不能是负数，所以x的最小值为 2.1 2 440 m2 设长为x m，宽为y m，则根据条件知 6x10y100，即 3x5y50，且xy，再根据x，y都是整数的条件求xy的最大值，而xy3x5y()2，1 151 153x5y 2 并且检验，知当x8，y5 时，面积xy最大为 40 m2. 5解：解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k(k0)，每批购入x台，则y400k(2 000x)3 600 x 当x400 时，y43 600，解得k5%.y100x3 600 400 x224 000(元)3 600 400 x100x当且仅当100x，即x120 时，等号成立，因此只需每批购入 120 台，3 600 400 x便可使资金够用
