《2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换讲义（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、122.122.1 矩阵与变换矩阵与变换考纲解读五年高考统计考点内容解读要求20132014201520162017常考题型 预测热度1.矩阵与变换1.矩阵与逆矩阵 2.矩阵变换的运用 3.矩阵的特征值与特 征向量B21B, 10 分21B, 10 分21B, 10 分21B, 10 分21B, 10 分解答题2.极坐标方程和 直角坐标方程的 互化极坐标方程及简单运 用B21C, 10 分解答题3.参数方程和普 通方程的互化参数方程及简单运用B21C, 10 分21C, 10 分21C, 10 分21C, 10 分解答题4.不等式的解法 与证明1.绝对值不等式的解 法 2.简单不等式的证明B2
2、1D, 10 分21D, 10 分21D, 10 分21D, 10 分21D, 10 分解答题分析解读 江苏高考对选修 4 的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任 意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控 制难度,注意解题的准确性和规范性.命题探究直线 l 的普通方程为 x-2y+8=0. 因为点 P 在曲线 C 上,所以设 P(2s2,2s),2从而点 P 到直线 l 的距离 d=|22- 4 2 + 8|12+ ( - 2)2.2( - 2)2+ 45当 s=时,dmin=.24 55因此当点 P
3、的坐标为(4,4)时,曲线 C 上点 P 到直线 l的距离取到最小值.4 55五年高考考点 矩阵与变换21.(2017 江苏,21B,10 分)选修 42:矩阵与变换已知矩阵 A=,B=.0 11 01 00 2(1)求 AB;(2)若曲线 C1:+=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2的方程.2822 解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为 A=,B=,01101002所以 AB=.01101002 0120 (2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y),则=,即所以
4、012000 20= , 0= ,?0= ,0=2.?因为点 Q(x0,y0)在曲线 C1上,则+=1,208202从而+=1,即 x2+y2=8.2828 因此曲线 C1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 C2:x2+y2=8.2.(2016 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=,矩阵 B 的逆矩阵 B-1=,求矩阵 AB.1 20 - 21 -12 0 2解析 设 B=, 则 B-1B=,1 -12 0 2 1001即=, -122 -1221001故解得所以 B=. -12 = 1, -12 = 0,2 = 0, 2 = 1,? = 1, =14, = 0, =12,?1 140
5、12因此,AB=.102- 21 140 121 54 0 - 13.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,yR,向量 =是矩阵 A=的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A1 - 1 1 0以及它的另一个特征值.3解析 由已知,得 A=-2,即=, 1 01 - 1 - 1- 22则即 - 1 = - 2, = 2,? = - 1, = 2,?所以矩阵 A=.- 1 1 2 0从而矩阵A 的特征多项式 f()=(+2)(-1), 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.4.(2014 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=,B=,向量 =,x,y 为实数,若 A=B,求 x+y 的值
6、.- 112121- 12 解析 由已知,得 A=,B=.- 1 21 2- 2 + 2 2 + 1 1 2 - 12 2 + 4 - 因为 A=B,所以=.故- 2 + 2 2 + 2 + 4 - - 2 + 2 = 2 + , 2 + = 4 - .?解得所以 x+y= . = -12, = 4.?725.(2013 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=,B=,求矩阵 A-1B.- 1 0 0 21 20 6解析 设矩阵 A 的逆矩阵为,则=, - 1 0 0 2 1 0 0 1即=,- - 2 2 1 0 0 1故 a=-1,b=0,c=0,d= ,从而 A 的逆矩阵为 A-1=,12
7、- 1 00 12所以 A-1B=- 1 00 121 2 0 6=.- 1 - 2 0 3教师用书专用(6) 6.2013 福建,21(1),7 分选修 42:矩阵与变换已知直线 l:ax+y=1 在矩阵 A=对应的变换作用下变为直线 l:x+by=1.(1 20 1)(1)求实数 a,b 的值;(2)若点 P(x0,y0)在直线 l 上,且 A=,求点 P 的坐标.(0 0) (0 0)解析 (1)设直线 l:ax+y=1 上任意点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(x,y).由=,得( ) (1 20 1)( )( + 2 ) = + 2, = .?又点 M(x,y)在
8、 l上,所以x+by=1,即 x+(b+2)y=1,依题意得解得 = 1, + 2 = 1,? = 1, = - 1.?(2)由 A=,得解得 y0=0.(0 0) (0 0)0= 0+ 20, 0= 0,?又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1. 故点 P 的坐标为(1,0).4三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点 矩阵与变换1.(2018 江苏徐州铜山中学期中)已知矩阵 A=,若直线 y=kx+1 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直线过点1 01 2P(2,6),求实数 k 的值.解析 矩阵 A=,A-1=,1 01 21 0-1212所以 A-1=,261
9、 0-12122 622将(2,2)代入 y=kx+1 得 k= .122.(2018 江苏扬州中学高三月考)已知矩阵 A=,A 的逆矩阵 A-1=,求 A 的特征值.3 02 130 1解析 因为 AA-1=,所以3 02 130 1 1 0 23+ 1 00 1 = 1, 23+ = 0.?解得 a=1,b=- .23A=,3 02 1则 A 的特征多项式 f()=(-3)(-1).| - 3 0 - 2 - 1|令 f()=0,解得 1=1,2=3. 所以 A 的特征值为 1,3.3.(2017 江苏南京、盐城一模)设矩阵 M=的特征值 对应的一个特征向量为,求 m 与 的值. 2 2
10、- 31 - 2解析 由题意得=, 2 2 - 31 - 21 - 2则 - 4 = , 2 + 6 = - 2,?解得 m=0,=-4.4.(2017 江苏扬州期中)已知矩阵 M=的一个特征值为 4,求实数 a 的值.2 3 1解析 矩阵 M 的特征多项式 f()=(-2)(-1)-3a,因为矩阵 M=的一个特征值为 4,| - 2 - 3 - - 1|2 3 1所以 4 为方程 f()=0 的一个根,所以 23-3a=0,解得 a=2.5.(2017 江苏徐州期末调研)已知矩阵 A=的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 =.求 a,b 的值.1 - 1 21解析 由条件知,A=2,即=
11、2,即=,1 - 1 2 1 2 12 + - 2 + 4 2所以解得2 + = 4, - 2 + = 2,? = 2, = 4.?5所以 a,b 的值分别为 2,4.6.(2016 江苏苏北四市一模,21)已知矩阵 A=,求矩阵 A 的特征值和特征向量.1 2 - 1 4解析 矩阵 A 的特征多项式 f()=2-5+6,| - 1 - 2 1 - 4|由 f()=0,解得 1=2,2=3.当 =2 时,特征方程组为 - 2 = 0, - 2 = 0,?故属于特征值 2 的一个特征向量 1=;21当 =3 时,特征方程组为2 - 2 = 0, - = 0,?故属于特征值 3 的一个特征向量 2
12、=.11B 组 20162018 年模拟提升题组 (满分:40 分 时间:20 分钟) 解答题(共 40 分)1.(2017 江苏苏州期中)已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 e1=,并且矩阵 M 将点(-1,3)变11换为(0,8). (1)求矩阵 M; (2)求曲线 x+3y-2=0 在 M 的作用下所得的新曲线方程.解析 (1)设 M=, 由题意得=8,=, 1 1 1 1 - 1 3 0 8解得M=. + = 8, + = 8, - + 3 = 0, - + 3 = 8,? = 6, = 2, = 4, = 4,?6 24 4 (2)设原曲线上任一点 P(x,y)在
13、 M 的作用下的对应点为 P(x,y),则=,即 6 24 4 = 6 + 2, = 4 + 4,?解得 =2 - 8, =- 2 + 38,?代入 x+3y-2=0,得 x-2y+4=0, 即曲线 x+3y-2=0 在 M 的作用下得到的新曲线方程为 x-2y+4=0.2.(2017 江苏海安中学质检)已知二阶矩阵 A=,矩阵 A 属于特征值 1=-1 的一个特征向量为 1=,属于 1 - 1特征值 2=4 的一个特征向量为 2=.求矩阵 A.32解析 由特征值、特征向量的定义可知,A1=11,即=-1,所以 1 - 11 - 1 - = - 1, - = 1.?同理可得解得 a=2,b=3,c=2,d=1.3 + 2 = 12,3 + 2 = 8,?6因此矩阵 A=.2 32 13.(苏教选 42,二,5,3,变式)二阶矩阵 A 有特征值 =6,其对应的一个特征向量 e=,并且矩阵 A 对应的变换11将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵 A.解析 设所求二阶矩阵 A=,则 = 6,12=84,? + + =66, + 2 + 2=84,?
