第部分统计学基础(续)

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1、（二）对总体方差的估计（一般在未 知u时对总体方差进行区间估计）总体方差区间估计的例题例3 冷拔丝的抗拉强度服从正态分布 ， 现从一批铜丝中任取10根，测的抗拉强度数据 （单位：N）如下：578、572、570、568、572 、570、570、596、584、572，求 的置信 度为90%的置信区间.解：样本均值与方差的观测值分别为：（三）关于区间估计的几点说明u（1）区间估计在方法上是定理1.121.16的应 用。u（2）在进行区间估计时，应针对不同的情况 ，采用不同的方法。例如分清分布的形式是已 知或是未知；是大样本或是小样本；小样本（ 估计总体数学期望时）又分清是已知方差或是 未知方差

2、等。充分利用分布信息可以得到较精 确的估计。u（3）一般地，越大置信度越低，置信区间越 长；反之，则反。第七节 通过样本，估计总体（三） 假设检验u一、假设检验的概念u二、两类错误u三、置信区间法和临界值法u四、假设检验的应用u单正态总体的假设检验u五、“小概率原理”在假设检验中的应用一、假设检验的概念u定义：称对任何一个随机变量未知分布的假设 为统计假设，简称假设。u一个仅涉及到随机变量分布中未知参数的假设 称为参数假设。一个仅涉及到随机变量分布的 形式而不涉及到未知参数的假设称为非参数假 设。u提出一个统计假设的关键是将一个实际的研究 问题用数学语言转换为统计假设。例1.检验一个硬币是否均

3、匀u抛掷一个硬币100次，“正面”出现60次，问此 硬币是否均匀？u分析：u若用X描述抛掷硬币的试验，“X=1”和“X=0”分 别表示“出现正面”和“出现反面”。上述问题就 是检验X是否可以被认为服从p=0.5的01分布。u问题是分布形式已知，检验参数p=0.5的假设。 记作，H0:p=0.5 H1 :p0.5中 ， H0称为零假设或原假设，是我们进行 统计假设检验欲确定其是否成立的假设 体现我们进行假设检验的目的。uH1称为备择假设，统计假设检验是二择 一的判断，当不成立时，不得不接受它 。例2.检验1999年新生女婴体重是否等 于某个既定值u从2003年出生的女婴中随机地抽取20名，测得

4、平均体重=3160克，标准差=300克，根据已有 的统计资料新生女婴的体重=3140克，问现在 与过去新生女婴的体重是否有变化？u分析：把2003年出生的女婴视为一个总体，用 X描述，问题就是判断：u H0:EX=3140 H1 :EX 3140u因为通常可以假定经过量测得到的资料是服从 正态分布的，无须检验总体的分布形式，显然 这是一个关于参数的假设检验问题。二、两类错误u（1）两类错误的概念u（2）Neyman-Pearson方法u（3）显著性水平（1）两类错误的概念u由于我们作出判断的依据是一组样本，结论却是对于 总体的，即由局部=全面，由特殊=一般，由个别= 整体，因而假设检验的结果不

5、可能绝对正确，它有可 能是错误的。而且出现错误可能性的大小，也是以统 计规律（小概率原理）为依据的。所可能犯的错误有 两类：u第一类弃真，原假设符合实际情况，而检验结果把 它否定了。设犯这类错误的概率为，那么u =p(否定H0/H0实际上为真)。 为显著性水平u第二类取伪，原假设不符合实际情况，而检验结果 却把它肯定下来。设犯这类错误的概率为，那么u=p(接受H0/H0实际上不正确)。1- 称为检验的功效。（2）Neyman-Pearson方法u自然我们希望犯两类错误的概率都越小越好。但对一 定的样本容量n，一般都不能做到犯这两类错误的概率 同时都小。由于减小 =增大 ，或者减小 =增大 ，于

6、是我们面临抉择，计量经济学中常常愿意使犯”第 一类错误“的概率较小，则拒绝错了的概率就较小 。 而不考虑 。因此，拒绝H0是坚决有力的（冒险率是 确定的），而不拒绝H0则是无可奈何的（冒险率是没 有确定的）。uNeyman-Pearson提出了一种方法：先固定犯“第一类错 误”的概率 ，再考虑如何减小犯“第二类错误”的概率 ，也称Fix ,Min 方法。当确定以后，让尽量的小 ，1- 就越大，称不犯“第二类错误”的概率为“检验的 功效（Power of test）。（3）显著性水平u显著水平指的是犯“第一类错误”的可能性，即“冒险率 ”冒H0是真而我们抛弃了H0所犯错误的概率 反之，而不接受H

7、0，乃是因为客观事实与H0假设存在 差异，且这种差异的程度已经太大了，在给定的小概 率下，零假设几乎是不可能发生的，从而认为零假设 H0是错的，必须抛弃它。同时，即使抛弃零假设H0， 这时也只需冒的风险，抛弃H0的可靠性则为1- 。u如果假设事关重大，譬如人命关载人的宇宙飞船升空 或药品试验，则必须提高差异显著水平即减小，使我 们不能轻易地拒绝H0。否则，则可以降低显著水平。三、假设检验：置信区间法u（一）问题的提出u（二）假设检验的置信区间法（一）问题的提出u曾经提到“某甲成绩大概是80 分左右”可以看成一个区 间估计问题。u “大概80分左右” u p(1u 如： p(75u(75,85)

8、是某甲成绩的估计区间，某甲成绩落在此区间 的概率在95%以上。u类似地，对这个问题，也可举出一个假设检验的问题 在允许你犯5%以下的错误，即以95%的正确性来 回答：“某甲的成绩是80，对吗？” u 假设 检验u同样的问题又是一个假设检验的问题。（二）假设检验的置信区间法的定义u对比区间估计和假设检验两种情况，我们发现 区间估计实际上给出了一种进行假设检验的方 法。u比如，当涉及“某甲成绩为80分”（ =5%）后 ，首先对问题进行区间估计，得到成绩在 7585之间的概率为95%。若原假设H0落在（ 75,85）内，显然应当接受H0，否则，则拒绝 H0。u这种利用区间估计法来进行假设检验的方法称

9、 为区间估计法。（三）假设检验的检验水平 =区间估 计中的显著水平u续以上问题继续讨论。对于给定的置信度95%，对成 绩进行区间估计结果为（75,85)，若原假设落入该区间 ，我们便接受H0，认为甲的成绩是80分。如此（接受 时），我们可能犯第二类错误，即甲的成绩实际上是 72，不是80，而把错误的H0接受了（取伪了）。必须 指出，这里的置信度95%只保证了我们运用置信区间 法进行假设检验时，在95%下，如果H0正确，我们不 会拒绝它，即95%地防止了假设检验中第一类错误的 发生，也就是显著水平达到了5%。u由此可见，在利用置信区间法进行假设检验时，区间 估计中的置信度1-中的 ，就是假设检验

10、中的检验水 平 。 也就是、不可能同时减小 的再探u在置信区间法下，随着检验水平的减小（第 一类错误的概率减小），例如5%1%，区间 估计的置信度就会增大（95%99%）；u置信度的加大，导致置信区间长度变大，比如 从（75，85）（70，90）；u这样就加了大犯第二类错误的概率 ，换言之 ，我们不但可能把72 分成绩误认为80分，还可 能把70分误认为80 分；u所以，也就是、不可能同时减小通过求置信区间进行假设检验的例子u例3 根据长期经验和资料分析，某砖厂生产的砖的“抗 断强度”服从正态分布，方差=1.21，今从该厂生产的砖 中随机地抽取6块砖，测得强度如下（单位千克/cm2） ：检验这

11、批砖的平均抗断强度为32.50千克/cm2是否成 立（ =0.05）？u解：H0:=32.50 H1: 32.50u首先求的置信区间： 临界值法（显著性检验）检验的步骤（检验均值， 已知）u1、提出零假设 H0： = 0 H1： 0 （双侧检验）u2、根据抽样所得样本计算检验统计量u3、确定显著水平=0.05（或0.01）和相应的临界值u4、将计算的U与 进行比较。如果U落在拒绝域内，则 拒绝H0，否则接收H0. ；u5、依据统计结论，作出专业（经济学）上的解释采用临界值法重作例3u1、提出零假设 H0： = 32.5 H1： 32.5u2、根据抽样所得样本计算检验统计量u3、确定显著水平=0

12、.05和相应的临界值为1.96u4、将计算的U=3.05与临界值1.96进行比较u5、下结论：因为U=3.05 1.96，故 P临界值”的事件）居 然发生了。出错了，那么，错在那里呢？u因为，在整个假设检验过程中，抽样是正确的、统计 量的选择是正确的、根据显著水平确定的临界值是正 确的、统计量的计算是正确的，统计量与临界值的比 较也是正确的。因而，只能是提出的假设H0发生了错 误，所以必须拒绝H0。检验“大海里丢了一棵针”？u（1）提出假设：检验“大海里丢了一棵针”u（2）进行抽样，并计算统计量计算打捞起来的“ 针”的棵数u（3）因为“大海里捞针一场空”是一小概率事件，依据 小概率原理，在一次

13、试验中几乎是不可能发生的，确 定“临界值”认为 大海里不只丢了一棵针。（针丢多了才可以捞到）uB.得到了“0”棵针，大概率事件发生了（应该发生） =接受H0，认为“大海里只丢了一棵针”。大海里捞针的错误之一“弃真”u1.提出假设H0 ： “大海里丢了一棵针”u真实情况：大海里真的只丢了一棵针，u2.如果假设为真，一次试验是不可能捞到一棵 针的小概率事件u3.打捞结果及下结论：u在一次试验中捞到了一棵针，小概率事件居然 发生了，而不得不拒绝H0，认为大海里不只一 棵针。对比真实情况，那么，此时发生了第一 类错误“弃真”大海里捞针的错误之一“取伪”u1.提出假设H0 ： “大海里丢了一棵针”。而真

14、实 情况是，大海里不是丢了一棵针，是很多很多 。u2.如果假设为真，一次试验是不可能捞到一棵 针的小概率事件。u3.打捞结果及结论：u在一次试验中没有捞到了一棵针，大概率事件 发生了，是完全应该发生，接受H0是顺理成章 之事，认为大海里只丢了一棵针。那么，对比 真实情况，此时发生了第二类错误“纳伪” （把错误的假设接纳了）。本章的几点注意点：u（1）数理统计学研究的核心问题是如何从样本来推断 总体的性质。作为观察者，我们对总体的情况往往是 不了解的，我们只能对总体进行随机抽样，获得一组 样本，通过对一组样本的研究，进而估计总体的各种 属性。所以，对总体的研究都是基于样本的。u（2）为了描述总体引入了随机变量，只有随机变量这 类特殊的变量，才能用以对总体进行全面描述。u（3）总体就是一个随机变量。u（4）我们通常遵循统计量三个优良性来构造各种统计 量，而且利用假设检验来具体的评价关于总体参数的 假设是否合理。u（5）区间估计和假设检验是一个问题的两个方面。