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1、 问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？变分法简介众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我们用数学的方法来推导这一结论.设平面上两定点为 和 这两点的连线的方程为 弧段 的长为 显然函数 还需满足条件:则原问题转变为求函数 使得成立并使弧长 取最小值。 由于 故积分当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到最小值。一、固定端点的简单泛函极值问题设 为函数类，若有法则，使在该法则之下，对中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，则称该法则为 上的一个泛函。例如，取 区间上的黎
2、曼可积函数类，定义泛函 为在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一般记为考虑简单泛函其中，函数 且问题是求函数 满足条件，并使由式定义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函极值问题。假设函数 使泛函 取得极值，任意取得函数 要求它满足条件若限制函数在 的范围中，则函数在 时取得极值。由函数取得极值的必要条件，有 因再由复合函数微分法，得再由分部积分公式，第二项积分可化为由得因而有所以，由函数 的任意性及因子 的连续性，则有是使泛函 取得极值的函数应满足的方程。这个方程成为Eular方程。注意到，Eular方程经展开后，成为该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件，即二、固定
3、端点的简单泛函的条件极值问题考虑简单泛函其中函数 且及满足条件求函数 满足条件和并使由式定义的泛函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数法加以解决。为此作辅助函数和辅助泛函其中 为引入的待定常数。得到的使泛函 取极值的函数 即为原问题的解。赛跑的最优速度安排问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？假设1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了其它因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。2.在运动的时候，来自体外的阻力和来
4、自体内的阻力存在，与速度成正比；3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这种能量的提供速度在运动期间保持常量。4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能可设为常量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。建模假设比赛距离为 运动员跑的时间为 速度函数为则有则问题转变为求速度 使得在赛跑距离 一定时，赛跑时间 取得最小值。该问题等价于求速度函数使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离 取得最大值。记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为运动员的最大冲力，则有
5、记 为体内外的总阻力系数。由假设2总阻力为则由牛顿定律，有其中 为为运动员的质量。取 则式可写为初始条件为从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间一定时，由和所确定的赛跑距离 达到最大。记 为运动员的体能函数， 为运动员体能的最大值，由假设4，知 为常量，且有记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供能量，由假设3， 为常量，单位时间内体能的变化为由氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为获得速度 而所作的功 ）的差，即现在的问题是：寻找合适的函数 使得在赛跑时间 一定时，由，所确定的赛跑距离 达到最大值。解模把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最后阶段。1.初始阶段这个
6、阶段的时间段为 其中 为待定的常量，且在这个阶段中，赛跑的速度为在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程为由和初始条件 可解出将代入，则变成由及初始条件可得 在中应有因 及由连续函数的零点定理，知存在某个时刻 使得若运动员赛跑的时间 则运动员应该以最大的冲力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则能跑的最大距离为所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来跑才是最优策略。2.最后阶段设此阶段为 其中 为待定参数，且而赛跑速度为假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量使用完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此
7、有 将代入，得由条件，得该方程可写成相应的解为其中 为这个阶段的初始速度。3.中间阶段为了确定数值 设该阶段为 赛跑速度为 现求取得最大赛程 时的速度由于在初始阶段和最后阶段的速度都已经有了相应的表达式和，故赛程为其中 还满足由方程及初始条件，得方程当 时得到现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函的极值。由Lagrange乘数法，作辅助泛函在上式中将与 无关的量略去，则可写成在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值因而上式是对函数 的泛函极值问题。对函数 是函数的极值问题，由Eular方程，有即从中解出4.确定参数因 是连续函数，故在 时有即得(21)(22)(24)在(21)中将 代入后积
8、分得在最后阶段能量为零，把 代入能量公式，并积分得(24)(25)由(23)、(24)和(25)可确定三个参数，由此可确定速度最优速度的函数图形如图。模型分析在这个模型中，运动员的生理参数是要预先给出的，它们是 一般可以根据统计资料取得。赛跑成绩的理论值和实际值的比较赛赛程世界记记 录录理论论成绩绩相对误对误 差 %初始阶阶 段最后阶阶段50码码5.15.09-0.250米5.55.48-0.460码码5.95.930.560米6.56.4-1.5100码码9.19.292.1100米9.910.071.7赛跑成绩的理论值和实际值的比较赛赛程世界记记 录录理论论成绩绩相对误对误 差 %初始阶阶
9、 段最后阶阶段200米19.519.25-1.3220码码19.519.36-0.7400米44.543.27-2.81.780.86440码码44.943.62-2.91.770.86800米1:44.31:45.951.61.071.08880码码1:44.91:46.691.71.061.08赛跑成绩的理论值和实际值的比较赛赛程世界记记 录录理论论成绩绩相对误对误 差 %初始阶阶 段最后阶阶段1000米2:16.22:18.161.40.981.161500米3:33.13:49.443.00.881.311英里3:51.13:57.282.70.871.342000米4:56.25:01.141.70.841.433000米7:39.27:44.961.20.81.62英里8:19.88:20.820.20.81.63赛跑成绩的理论值和实际值的比较赛赛程世界记录记录理论论成绩绩相对误对误 差 %初始阶阶 段最后阶阶 段5000米13:16.613:13.11-0.40.771.826英里26:2725:57.62-3.10.752.110000米27.39.426.54.1-2.70.752.12注 表中的最后数据以秒为单位。
