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1、1(二十一)开始王柱2013.05.272第七章续 特殊的区间估计3(7.4.1 ) 大样本情形下总体均值的区间估计 由概率论中的中心极限定理可知，不论所考察的总体分 布如何，只要样本容量n足够大，样本均值近似地服从 正态分布。即设总体X的分布是任意的，均值 和方差都是未知的。用样本 对总 体平均数 作区间估计。由于样本容量n足够大，总体方差近似地用样本方差代 替，也近似地服从正态分布。即4于是，由得，总体平均数 的区间估计为5某市为了解在该市民工的生活状况，从中随 机抽取了100个民工进行调查，得到民工月平均工资 为230元，标准差为60元，试在95%的概率保证下，对 该市民工的月平均工资作
2、区间估计。这里n=100可以认为是大样本。 1- =0.95, /2=0.025, 查附表2得 u 0.975=1.96, 于是, 置信度为0.95的置信区间为(218.24,241.76)。 解:置信下限 (元) 置信上限 (元) 例21-01.6设有一容量大于50的样本,它来自参数为p的0-1分布的总体 X .又例. 0-1分布参数的区间估计求: p的置信度为1- 的置信区间.样本为 X1,X2,Xn,由于样本容量大,认为近似地服从正态分布N(0,1).于是有7而不等式于是有，p 的近似的、置信度为1- 的置信区间为等价于记8例、从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个.一级品率 p
3、 是0-1分布的参数.计算得于是所求p的置信度为0.95的近似置信区间为求:这大批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信 区间. 解:这里 1- =0.95, /2=0.025 ，n=100, u 0. 975=1.96,例21-02.9下面考察总体X服从二点分布 情形，其分布律为 ，从总体中抽取一个容量为n的样本，其中恰有 m 个“1”，现对p作区间估计。此时， 在最后一式推导中，需注意仅能取“1”和“0”，把这些量 代入上式，得p的置信度为1- 的置信区间是10从一大批产品中随机的抽出100个进行检 测，其中有4个次品，试以95%的概率估计这批产品的 次品率。记次品为“1”，正品为“
4、0”，次品率为。总体分布是 二点分布，根据题意n=100，m=4,由1- =0.95, /2=0.025, 查附表2得 u 0.975=1.96。 置信下限 于是, 置信度为0.95的置信区间为(0.002, 0.078)。解:置信上限 例21-03.11需要指出，上面介绍的两种情况均属于总体分布为非正态分布的情形，如果样本容量较大（一般）时，可以按正态分布来近似其未知参数的估计区间。如果样本容量较小（一般 ）时，不能用上述的方法求参数的估计区间。参数估计采用表格的形式小结于表7-4-1中。12设对于给定的值 (0 0 。有时提出的假设检验问题可能是：此时称为右边检验。在显著性水平 下，检验假
5、设H0： = 0； H1： 0” 的拒绝域.取检验统计量当假设H0为真时, z不应太大.因而拒绝域的形式为当假设H0为真时, 由正态分布分位点的定义得, . 拒绝域为29类似地:在显著性水平 下，左边检验问题“ H0： = 0； H1： 0 。3.在显著性水平 下，左边检验假设H0： = 0； H1： 0 。拒绝域的形式为取检验统计量32已知某种水果罐头(维生素C)的含量服从正 态分布。标准差为3.98(毫克)。产品质量标准中，Vc的 平均含量必须大于21毫克。现从一批这种水果罐头中抽 取17罐，测得含量平均值 (毫克)。问这批罐 头的Vc含量是否合格？取 =0.05。 解:因为本题要求的平均
6、含量必须大于21毫克，少了 判为不合格品，所以用单侧检验。 在成立的条件下，例21-07.33由检验水平=0.05 ，查标准正态分布表，得临界值，确定否定域为 。由样本观察值计算 所以，否定，即认为这批罐头的含量符合标准。 342. 2为未知,关于均值 的检验(t检验)采用统计量总体为 N (, 2),其中,2为未知,我们来求检验问题 :H0： = 0； H1： 0 。在显著性水平 下的拒绝域.作为检验统计量,当 t 过分大时就拒绝H0,拒绝域的 形式为353. 单个正态总体方差的假设检验设总体为N (, 2) , 、2均为未知,要求 检验 假设(显著性水平为 )：H0： 2 = 02 ； H
7、1： 2 02 。由于s2 是 2的无偏估计，当H0 为真时，比值在 1 附近摆动，而不应过分大于1，也不应过分小于1。我们已知36我们取其拒绝域的形式为：作为检验统计量。此处k的值由下式确定：37机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布 ，规定每袋盐标准重量为500克，标准差不能超过10克 。某日开工后，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得重 量为(单位：克)：497 507 510 475 484 488 524 491 515。问这天包装机的工作是否正常(取 =0.05)？所以,不能否定H0 ，即可以认为平均每袋盐重为500克 。在H0成立的条件下解:包装机工作正常指 克和 ，因此分两步 进行
8、检验。 现在, n=9, =0.05，得临界值又得 例21-08.38 所以，否定 ，即可以认为方差超过(10)2 ， 包装机工作不稳定。由、可以认为，包装机工作不正常。在 成立的条件下现在, n=9, =0.05，得临界值又得 39总体 X N (, 2), =2, =40。现在用 新法生产。随机取n=25。样本均值为 =41.25。 设总体均方差不变。问在显著性水平= 0.05之下产 品有否提高？解:按题意需检验假设“ H0： = 0 =40 ；H1： 0”。这是右边检验问题。拒绝域为现在落在拒绝域中。拒绝H0，认为产品有显著的提高。例21-09.40是利用假设H0为真时服从N(0,1)
9、分布来确定拒绝域的的统计量, 这种检验法称为 u 检验法.上面例1中,如将需要检验的问题写成以下的形式更为合理:H0： 0； H1： 0 。 取显著性水平 ，来确定拒绝域. 因为在H0中的 都比在H1中的 要小，从直观上看,较合理的检验法则应是:若观察值的 与0的差 过分大,即 则我们拒 绝H0,因此 拒绝域的形式为41由标准正态分布函数 (x) 的单调性得到, 要控制 只需令 42即得 即 从而检验问题的拒绝域为和以前是一样的. 比较总体 N (, 2) ,在2为已知,关于均值 的两种 检验问题:和H0： = 0； H1： 0 。H0： 0； H1： 0 。尽管原假设的形式不同,实际意义也不一样,但对于相同 的显著水平,它们的拒绝域是相同的.因此遇到形如后者 的检验问题,可归结为前者形式来讨论.43某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布 ， ,2为未知。其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取6个 样品，测得其强度数据如下(单位：kg/mm2)：48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度 是否合格(=0.05)？t未落在拒绝域中,故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在 样本提供的信息来看，产品是合格的。 在H0成立的条件下解:现在, n=6,t0.975(5)=2.571 。又得 例21-10.44结束
