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1、 人教版数学教材八年级下人教版数学教材八年级下第16章 二次根式16.1 二次根式什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。回忆回忆 什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。用 (a0)表示。0的算术平方根平方根是0a的平方根是复习1、如果 ，那么 ；2、如果 ，那么 ；3、如果 ，那么 。21.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b-32.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 它的半径为 m（ 取3.14）；3、关系式中 ，用含有h的式子 表示t，则t为 。导入表示一些正数的算术平方根你认为
2、所得的各代数式有哪些共同特点？被开方数二次根号新授:读作“根号 ”归纳:二次根式的定义一般地，代数式形如 ( ) 的 式子做叫二次根式。请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 的认识！?表示什么？a应满足 什么条件？1、当a是正数时， 表示a的算术 平方根 ，即正数a的正的平方根。 2、当a=0时， =0，它表示零的平 方根，也叫做零的算术平方根。3、当a是负数时， 没有意义。亲！ 表示非负数a的算术平方根 。表示非负数a的算术平方根；也就是说， 是一个非负数，它 的平方等于a.即有：是不是 二次根式?思考 ：不是,它是二次根 式的代数式.形如 的式子叫做二次根式。二次根式的两个特征： （1
3、）根指数为2形（2）被开方数大于等于零质注：其中的a可以是具体的数；也可以是含有字母的代数式。如 都是二次根式(1) 代数式 是二次根式吗?答:代数式 只有在条件a0的情况下,才属于二次根式! 二次根式是属于有特殊条件的代数式.(2) 是二次根式吗？答：符合条件(1)被开方数 为非负数; (2) 含有 二次根号，所以 是二次根式(3) 代数式 是二次根式 吗? 答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.而 这类代数式，应把 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。如： 这类代数式只能称为含有二次 根式的代数式，不能称之为二次根式；注意说一说:下列代数式中哪些是二次根式？下列各
4、式是二次根式吗? (m0),(x,y 异号)在实数范围内,负数没有平方根有意义 被开方数a0例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。例题吧（3）由题意可知：(1) 由x-5 0,得x 5 当 x 5时， 有意义.当 -1 x 3时， 有意义.解：(2) 因为不论x是什么实数，都有 0. 当 是任何实数时， 有意义.当x取何值时， 在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意得 当x5时， 在实数范围内有意义 。1、 x取何值时,下列二次根式有意义?(7)(8)a取何值时，下列各式有意义？求二次根式中字母的取值范围的基本依据： 被开方数不小于零，即被开方数必须 是非负数； 分母中有字母时，要保
5、证分母不为零。（1）解：由-3a+20,得（2）解：由 , 得 1-2a0（3）解：(a+3)20当当x x为怎样的实数时，下列各式有意义？为怎样的实数时，下列各式有意义？x x11 x x11x x=1=1x x为任何实数为任何实数. .x x为任何实数为任何实数. .二次根式的双重非负性经常作为隐含条件，是解题的关键已知 ，求xy的值解： ， ，解得x-10， y+30x， yx+y-2?若a.b为实数,且 求 的值 解: 已知：a、b为实数，且满足 你能求出a值吗？b-10 1-b0 b=1，解：由题意得:当b=1时，a=已知，求的值.?解:由题意得,小结： 1.怎样的式子叫二次根式？2
6、.怎样判断一个式子是不是二次根式？3.如何确定二次根式中字母的取值范围？（1）. 形式上含有二次根号（2）.被开方数a为非负数，分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来（1） 双重非负性形如 (a0)的式子叫做二次根式 。有意义 被开方数a01、判断下列代数式中哪些是二次根式？， （3）（4），（5）解：由题意得：求：xyz 的值解：由题意得：xyzxyz=(-5)2(-2)=20=(-5)2(-2)=20一般地,二次根式有下面的性质:快速判断53a?9 4161517一般地,二次根式有下面的性质:225500当 时, ; 当 时,请比较左右两边的式子,议一议: 与 有什么关系?2
7、:从运算顺序来看：先开方,后平方先平方,后开方=a=a1.从读法来看：3.从取值范围来看：a取任何实数a0根号a的平方根号下a平方4.从运算结果来看:二次根式的性质及它们的应用: a 0-a( a 0 )( a =0 )( a 0 原式 = (3-x) + (x+1) = 41.若 ,则x的取值范围为 ( )(A) x1 (B) x1 (C) 0x1 (D)一切有理数A3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 abcA B C D2.下列式子一定是二次根式的是（ ）C4.已知a，b，c为为ABC的三边长边长 ，化简简：+-这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识
8、点上，特别要应用好。5.化简 6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实数范围内分解因式；解 ：-1-13 3(-5)2(-2)=20(-5)2(-2)=203.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：非负数 的性质：1.几个非负数的和、积、商、乘方及 算术平方根仍是非负数6.化简简：-分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义 的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.7.设设等式在实实数范围围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实实数，求的值 。解：巩固提高1 ：1.分别求下列二
9、次根式中的字母的取值范围（1 ）（2 ）（3 ）2.当x_时时, 有意义义.=03.化简：=_2a-3b4.要使式子 有意义，那么x的取值范围是（ ） A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0C5.已知,求的值值。6.已知，化简简：7.已知：，求的值值。2.已知a,b为实数，且满足 ,你能求出a及a+b 的值吗？1.若=0，则=_ 。3.已知 有意义,那A(a, )在 象限.二由题意知a0点A(,)巩固提高2 ：4.计计算：+5.如果+b-2=0，求以a、b为边长为边长 的等腰 三角形的周长。切入点：从字母的取值范围入手。l1.已知 ，你能求出 的值吗？l3.已知 ，你能求出 a 的取值范围吗？l2.已知 与 互为相反数，求 、 的值. 切入点：从代数式的非负性入手。l4.已知 为一个非负整数，试求非负整数 的值切入点：分类讨论思想。
