§4.1-2(十一)

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1、将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散 质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统。这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动 微分方程为常微分方程组。 第4章 多自由度系统 本章内容：1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法；3) 用变换方法求多自由度系统动力响应的问题。 4.1 运动微分方程n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为一般 MCK 不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解 耦是在时域内求解方程的重要一环。 分别叫：在静力学中，各自由度的位移x、系统的刚度矩阵K、 各自由度上所受到的外力关系

2、为：刚度矩阵K的元素kij的意义 ：如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其 余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态 需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加 的外力就是kij。K的定义：外力f正好是刚度矩阵K的第 j 列。 系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量xej描述。为使系统保持ej的变形状态，所加的外力为：例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。 解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即x=yA,yB,y1,y2T 各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。如何根据上述定义，写K?(1

3、) 求K的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力f=? f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=0k11=k2; k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求K的第二列：yBk120， k22k4， k32=0， k42=-k4 坐标x=yA,yB,yl,y2T(3)求K的第三列。设yl k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 (4)求K的第四列。设y2 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k2+k4 三种求K的方法：？牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。坐标x=yA,yB,yl,y2T质量矩阵

4、、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。 用求偏倒的方法写M C K矩阵：定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：1) 写系统的动 能、能量耗散 函数和势能 2) 求偏倒3) 得到矩阵针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为： 坐标系 x=yA,yB,y1,y2T由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统 的惯性力、阻尼力和弹性力：它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻 尼力和弹性力。求解方程的一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统的质量 矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。也就是解耦。新坐标系与原坐标

5、系存在线性变换关系，因此，要寻找 一个可逆线性变换矩阵u，将质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵变换为对角矩阵。为此，我们讨论线性变换前后多自由度系统运动微分方 程的关系。 设有可逆线性变换u，使得 因而有称x为旧坐标系，y为新坐标系。 系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关 ，也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：新旧坐标系下矩阵的关 系：两边左乘uT ，根据：将x=uy代入方程：得到，新坐标系y下的运动微分方程： 得到：其中：是新坐标y下的广义激励。 此时，方程解耦了！为求x=uy的逆变换，在其两边左乘uTM得 即 ： 坐标系y下的初始条件为：问题转化为坐标y 微分方程的定解 思

6、路：x坐标系下 的微分方程 和初试条件x坐标系下 的微分方程解y坐标系下 的微分方程 和初试条件耦合，不能求 解u坐标转换解耦y坐标系下 的微分方程解微分方程相 互，可求解u-1坐标逆转换4.2 固有频率与振型 系统的固有频率和振型一一对应。系统求解的思路：1) 设系统解为简谐振动：2) 代入微分方程：3) 得到广义特征值问题：4) 得到特征方程或频率方程：5) 求得w1，w2并取w1w2 ;6) 代回广义特征值问题，求得振型u。无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：在特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是简谐振动，也 就是固有振动。形式为：其中，u和w是待求的振型和固有频率。这就是频率方程。 将

7、代入方程得到 方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即 ： 这是以w2为未知数的n次代数方程，解之可得n个根，w1， w2 ，. . . wn 。依次代入广义特征值问题方程可以得到n 个方程广义特征值问题求出与w2r相对应的非零的ur 。就是与固有频率对应的 振型。由：固有频率振型如果w2r是是频率方程（4.13）的k重根（k正整数，k0。 这是一个对称系统，对称点为弹簧是的中点。它有两种固 有振动：1)写K M：2) 由特征方程计算固有频率： 3) 取wr2的正平方根wr，称为系统的第r阶固有频率，而相 应地称ur为系统的第r阶固有振型，简称振型。并将固 有频率按由小到大的顺序编号系

8、统的固有频率和振型与激励无关，由K和M决定。 同样，由能量法可获得相同的结果：如果振型ur 满足则对任意非零常数c，cur也满足上式。即振型只是给出了振动方向和相对振幅，而振型大小 需要人为指定。称指定振型的大小为振型的正规化。(1)令ur满足 此时在式(4.14)两边左乘urT可得 振型正规化方案有多种，常用的有以下几种：(2)令ur的某一分量（常取绝对值最大的分量 ）为1； 其他分量等比缩小。 如： ur=2, 1.4, 0.8, 0.6正规化 得到：ur=1, 0.7, 0.4, 0.3振型的性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量 矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为振型的正交性。

9、 前提：数学表示为： 证明过程： 由可得这里左乘usT 得：左乘urT ，再转置得：不为0因此：即：振型的正 交性振型正交性的物理意义： 假定系统的位移可以表示为第s和第r阶两个振型的线性组 合，即： 其中：ur、us 对质量矩阵归一；a(t)、b(t)是时间的标 量函数。 则系统的动能和势能为 ：令：则：它们分别是第r、s阶振型单独存在时系统的动能和势能， 称为系统的第r、s阶动能和势能。 这个结论对位移是任意k (kn)个振型的线性组合的情况也 成立。 更进一步：各个振型之间的动能、势能不交换。各振型 在振动时相互独立、互不影响，如同一组彼此没有关系 的单自由度系统振动时的情形一样。 由全

10、体振型构成的向量组是线性无关的。是一个基。 响应x 可以被系统的振型线性表出 ：即：展开定理。振动系统响应是系统n个振型的线性组合 。矩阵形式：x=uy 振型的正规正交化条件： 1)先引入符号 是单位矩阵E的元素 2)振型的正规正交化条件可写为： 定义振型矩阵u，它的列向量为相应的振型，即 因此，有 且 同样 因此：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和 刚度矩阵为权正交，这就是振型的正交性。更进一步，证明：由全体振型ur构成的向量组u是线性 无关的。 1)线性无关定义：如果一组向量x1，x2，xn由方程 只能得出，则向量x1，x2，xn线性无关。也就是说，它们 是x空间的一个正交基。

11、2) 同样，如果u空间（振型空间）有：则方程两边左乘u1TM得： 由于振型的正交性，有 不为0 所以有 3)按此方法，依次对两边左乘 ，将得到 4) 因此振型u1，u2，un是线性无关的。振型矩阵u的列向量是线性无关的；振型矩阵u为可逆矩阵。 振型ur是n维向量空间的一个向量，且n个振型是线性无 关的，因此：n个振型构成了n维向量空间中的一个基，任 何一个向量都可以被这n个振型线性表出。系统n个振型构成的广义坐标为振型坐标，系统所有的响 应振动，都是这个基的线性组合。三维向量空间的直角坐标基三维向量空间的柱坐标基n自由度振动系统的响应x也是n维向量，可以被系统的 振型ur线性表示，即有:这就是

12、展开定理，其中yr(r1，2，n)是响应x在第r 个基向量ur下的坐标（系数）。 振动系统的响应是系统n个振型的线性组合。 展开定理的矩阵形式为： x=uy 其中，y的分量为响应x在系统振型u下的坐标。以式(4.29)取代式(4.5)，可以得到在振型坐标下n自由 度系统无阻尼自由振动的运动微分方程。 在振型u坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分 方程为 分量形式为 小结：1) 运动微分方程的列法：能量法，矩阵M K C1) 系统的固有频率和振型：u 求固有频率和振型的方法：特征值问题、频 率方程u 振型的正规化、正交性u 系统响应：系统n个振型的线性组合。 作业：4.1和4.2（改为求系统的全部固有频率和振型）