《不等式证明方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式证明方法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、abnmABCDEF不等式证明方法（二）不等式证明方法（二）1、单调函数法、单调函数法当属于某区间，有，则单调上升；若，则单x0)(xf)(xf0)(xf)(xf调下降。推广之，若证，只须证及即可，)()(xgxf)()(agaf)()(xgxf。,bax例 1、，求证：。20 xxxxtansin证明：当时，而0x0tansinxxx)(tansec1cos)(sin2xxxxx故得。xxxtansin2、分解法、分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简 单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。例 2、，且，求证：。2nNn) 11(
2、1 31 211nnnnL证明：因为11131121) 11 (1 31 211nnnLLnnnnnnnnn11 34 2321 34 232LL所以。) 11(1 31 211nnnnL3、几何法、几何法借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。例 3、已知：，且，求证：。Rmba,ba ba mbma证明：以为斜边，为直角边作baABCRt 延长 AB 至 D，使，延长 AC 至 E，使，过 C 作 AD 的平mBD ADED 行线交 DE 于 F，则，令，ABCADEnCE 所以nbma ACAB ba 又，即，所以。CFCE mn ba nbma mbma4、放缩法（增减法、加
3、强不等式法）、放缩法（增减法、加强不等式法）在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而 使不等式的各项之和变小（或变大） ，或把和（或积）里的各项换以较大（或较 小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母） ，从而达到证明 的目的。值得注意的是“放” 、 “缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子 （分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例 4、求证：。01. 0100009999 65 43 21L证明：令，则100009999 65 43 21Lp100001 100011 1100009999 143 121 100009999 6
4、5 43 212222222222222LLp，所以。01. 0p5、数学归纳法、数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等)(Nnnn式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么)(Nnkn1 kn肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。n例 5、已知：，求证：。Rba,Nn1n11nnnnabbaba证明：（1）当时，不等式成立；2nabababba222（2）若时，成立，则kn 11kkkkabbaba111111)()(kkkkkkkkkkbababbaababbaaba=，kkkkkkkkkkabbabababbababbaabba21112)()
5、2(即成立。kkkkabbaba11根据（1） 、 （2） ，对于大于 1 的自然数都成立。11nnnnabbaban6、换元法、换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证 明达到简化。例 6、已知：，求证：。1cba31cabcab证明：设，则，ta31)(31Rtatbtac)1 (31 tattaatattcabcab)1 (31 31)1 (31 31 31 31（因为，） ，31)1 (3122taa012aa02t所以。31cabcab7、三角代换法、三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。例 7、已知：，求证：。122ba122 yx1bya
6、x证明：设，则；设，则sinacosbsinxcosy所以。1)cos(coscossinsinbyax8、等式法、等式法应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例 8、为的三边长，求证：cba,ABC。444222222222cbacbcaba证明：由海伦公式，)()(cpbpappSABC其中。)(21cbap两边平方，移项整理得4442222222222)(16cbacbcabaSABC而，所以。0ABCS444222222222cbacbcaba一、选择题1.设 0x1，则 a=,b=1+x,c=中最大的一个是（ ）x2x11A.a B.b C.c D.不能确定2
7、. 若不等式 x2logax1，b1，若 axby3，ab2，则 的最大值为( )31x1yA2 B. C1 D.32124. 不等式0 的解集是 ( )2log211log3212xxA2，3 B.（2，3） C.2，4 D.（2，4）5. 设 , 那么 的最小值是0ab21 ()ab abA. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题1. 设 x，y 为实数，满足 3xy28,49，则的最大值是_x2yx3y42. 若对任意 x0，a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx23x13. 设函数 f(x)x21.对任意 x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数32，)(xm)m 的取值范围是_4. 设 x0,y0,A=,B=,则 A，B 的大小关系是_.yxyx 1yy xx 11三、解答题1若 x,y 均为正数，且 x+y2.，求证:与中至少有一个小于 2.xy1 yx12.已知 an=+(nN*),求证：an对 nN*3221) 1( nn2) 1( nn 2) 1(2n恒成立.3. 13.若 a,b,c 为三角形三边，x,y,zR,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy0.
