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1、 数学之友 2 0 1 1 年第 1 2 期 解 题 探 索 函数最值的几种求法 康 美明 ( 山西省长 治市沁源中学 ， 0 4 6 5 0 0) 函数是 中学数学贯穿始终 的重要 内容 ， 在 中学 生的数学学习中占据“ 半壁江山” 然而， 长期 以来 ， 不少中学生对于函数学 习却感 到头痛 ， 对于函数求 最值问题更是 手足 无措 以下是 几 种 函数最 值 的 求法 ： 1 利用判别式法 求函数最值 高 中 生在 学 习过 程 中， 经 常 会 遇 到类 似 “ 求 ) = 睾 的 最 值” 的 问 题， 很显 然 这 种 问 题 口 十 ex十 ， 对于学生来说是一个新 问题 ，
2、用传统的方法无法求 解 ， 因此想到 了一 种新 的求 函数最值的方法判 别式法 ( 对 于二次 函数 、 二次分式 函数和二元无理 函数 Y= ) 来说 ， 若其在全体实数上是连续 函数 ， 且可以变形为关于 的二次方程 A ( Y ) + B( y ) x+ C ( Y )= 0 ， 贝 另 U 式 =B ( Y )一4 A ( ) ， ) C ( y ) 10 ， 进 而解得 Y的取值范围 ) 例 l 求 函数 ) ， = )= 的最值 解 ： 原式 变形 可得 ： ( Y一2 ) +( 2 y一3 ) +2 y 一1=0 ( 1 ) 当Y： 2时 ， =一 3 ， 符合题意 ( 2 )
3、 当y 2时 ， 很显然 ， 这是一个关于 的一元 二次方程 ， 而且一定存在 ， 使得原式成立 A=( 2 y一3 ) 一 4 ( Y一2 ) ( 2 y一1 ) 10 ， 解得 l 一 Y l+ 45 所以此函数的最大值为 1 + ， 最小值为 1 一 例 4求 函 数 y ： 厂 ( ) ： 专 竿 的 最 值 解 ： 原式变形可得 ： ( y一1 ) 。 一 2 x+( y + 4 )= 0 ( 1 ) 当Y = 1 时， = ， 符合题意 ( 2 ) 当 l时 ， 这是一个关 于 的一元 二次函 数 ， 且 Y 1 ， 必然存在 ， 使得原式成立 = 4 4 ( Y一1 ) ( Y+
4、 4 ) I0 ， 解 得 掣 y 原 函 数 的 最 大 值 为 二 ， 最 小 值 为 评注： 用这种方 法求函数最值 ， 新颖独特 ， 构思 巧妙 ， 但是对学生的基本功要求比较 高， 尤其是要注 意 )： 中 的最值 范围， 如 果对 的 取值有限制， 则应 当思虑 的取值限制对 于函数最 值 的 影 响 2利用三角函数代换法求函数最值 在平 时学 习过程 中， 会 遇到求 形如 “ Y= + 的最值 、 “ 若 + Y ：1 ， 求 2 +3 的最值” 等问题 对于初学者 ， 这无疑是横在他们 面前 的“ 拦 路虎” ， 然而 ， 只要仔细观察 、 仔细琢磨便不难 发现 ， 以上问题
5、都可以用三角函数的性质来求解 例 3 求函数 Y= +, 1一 的最值 解 ： ( +( ) =1 ， 令 = C O S O f ，=s i n a， 此时原式 Y=s i n a 4 - C O S O ( 0 ,r r 2 ) ， 解得 1 Y 原 式最 大值 是 ， 最小值 是 1 例 4 若 +Y =1 ， 求 函数 m =2 x+3 ， ， 的 最值 解 ： + y 2=1 ， 令 =C 0 $ 0 ， Y=s i n c e ， 则m= 2 x + 2 C 0 $ 0 + 3 s in a ， 一 , i X m l 3 ， m的最大值为 、 1 3 ， 最小值为 一 l 3 评
6、注 ： 用三 角函数代 换法解题 时， “ 代换” 是最 重要的过程 ， 首先要弄清两个量的平方和是否为 1 ， 然后考察 自变量的定义域 ， 接下来进行代换 ， 最后对 三角函数求最值 6 9 数学之友 2 0 1 1 年第 l 2期 3 利用导数 法求函数最值 有形如 )= + + +， 眦 + + 、 厂 ( )=a x 一+b x+，c ( 口 ， 6 ) 这 么一类 函数 ， 如何 来求它们的最值呢?很显然， 利用传统方法很难奏 效 ， 这时候我们想到了利用导数法求函数最值 例 5 求函数 y= 2 x 。 一 3 x + 3 ( 一1 ， 2 ) 的 最值 解 ( ) =6 x 一
7、 6 x ， 当 6 一 6 x= O时 ， = 0 ， 1 ( 1 ) 若 0 ， 此时， 函数为增函数 ； ( 2 ) 若 01 ( ) 0 ， 此时 ， 函数为增 函数 故函数最大值必为f ( o ) 或厂 ( 2 ) ， 最小值必为 ， ( 一 1 ) 或， ( 1 ) 分别求出这几个值得， 最大值为 2 ) = 7 ， 最小值为 一 1 ) =一 2 例6求 函 数) ， = 暑 在 0 ， + ) 的 最 大 值 用求导的方法求最值 ， 由题意： ， 一( ： ) = ( ! ) ( 兰 ) 一二 ： 二 一 n 一 ( +2 ) 一( X 2 + 2 ) 一 即 一 一 2 x+
8、 2=0 ， 解得 = 一1 ( 因为 0 ， +) ) ， 因此最大值为 y - 1 。 评注： 利用导数法求函数最值 ， 找 出稳定点， 再 求函数最值 极值点定义 ： i g 续 函数 ) ， 若 j a的一个邻域 ( 口 ) ， 使得 V ( 口 ) 有 厂 ( )厂( a) ( 厂 ( )， ( 口 ) ) ， 则称a为的极小值点( 极大值点) 稳定点定义： 可导 函数 ) 的方程 ( ) =0的 根 。 ( 即厂( 。 )= O ) ， 称为函数厂 ( ) 的稳定点 定理： 函数厂 ( ) 在 ( n ) 可导， 且厂( a ) = 0 ， j 0 ， 则 a是函数 ) 的极大值点
9、( 极小值点) 口 ) 是极大值( 极小值) 容易知道 ， 连续函数 ) 在闭区间 ，能取得最 值 ， 而最值是所有极值 和两个端点值 中最大或最小 的那个 所 以要求最值首先要求得极值 ， 及区间端点 对应的值 ， 然后将这有限个值比较大小 根据上面的 定理 ， 极值点必然是稳定点， 所 以只需求出稳定点 7 0 4 利 用均值不等式求 函数最值 由均值不等式易知： 若 口 ， 6 o ， 则 ， 上式 中等号当且仅 当 a=b时成立 ， 一般地 ， 若 a ， 口 2 ， 口 3 ， ， 0 0 ， 则有( 0 l + 口 2 + 十 口 ) a l a 2 a n ， 其中等号当且仅当口
10、 。 = 口 = = a 时 取得 例 7 设 R ， 求函数Y = 3 x + 的最小值 误解 ： 拿到很容易想到用均值定理 ， 所以有 ： R ， y = 2 + + 1 3 1 = 3 ， 所以 最小值为) ， = 3 拉 这里的错误是没有考虑等号成立 的条件 ， 显然 要 2 x= = ， 这样 的不存在 ， 导致错误 此题用均 值定理， 需要拆项， 同时要等号成立， 需要配一个 系数 正 确 解 法 ：Y ： 莩 + 3 x + 3 擎 32x 1 = 寻 河( 当 萼 = 时 取 等 号 ，即 = ) 厶 、 二 J ， 因此 ： 时， 最小值为3_ 因此 = 时，最小值为 注 ：
11、 本 题 之 所 以 把 3 + 分 解 成 警 + 3 X + 是 想让他们之积为一常数， 并且等号也要成立 侈 0 8 求函数Y= ( 1 2 x ) ( 0 ， 0 5 ) 的 最大值 解 ： 将原函数变形为 ： Y= ( 12 x )： ( - ) ( ) = 当 =l 一2 x时， 即 = 了 1叮耿侍x葳 但 1 评注： 在运 用均值不等式求 函数最值 的过程 中 要特别重视 运用过程 中的三 个条件 ： “ 正数、 取等、 定值” 在运 用均值不等式处理最值 问题 经常会 用 到技巧有 ： 拆项， 裂项， 添项， 放入根号 内， 分子变量 常数化， 引入参数， 取倒数等 本文通过一些各具特色的例子 ， 对中学阶段常 见的几种求函数最值的方法进行 了讲解 和分析 ， 希 望起到抛砖引玉的作用
