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1、 线性代数是线性代数是高等代数高等代数的一大分支。的一大分支。 一次方程称为一次方程称为线性方程线性方程， 研究线性方程及系列相关问题的代数就称研究线性方程及系列相关问题的代数就称做做线性代数线性代数。 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。自然科学和社会科学中。由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在在数值分析数值分析与与运筹学运筹学
2、中占有重要地位。中占有重要地位。 线性代数出现于十七世纪线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于主要理论成熟于十九世纪十九世纪. 随着科学技术的发展，特别是电子计算机随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域会科学、工程技术、经济、管理等各个领域 。第一章第一章 行列式行列式(6个学时)第一节 二阶、三阶行列式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式按行(列)展开主主对角线对角
3、线副对角线副对角线例例1.（一一）二阶行列式二阶行列式对角线法则对角线法则以上的行列式的计算方法常称为：以上的行列式的计算方法常称为：行标行标列标列标（二）三阶行列式（二）三阶行列式定义定义定义定义记记记记（5 5）式称为数表（）式称为数表（4 4）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红红线上三元素的乘积冠以正号，线上三元素的乘积冠以正号，蓝蓝线上三线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式四阶四阶及四阶以上的行列式不能用
4、对角线法则及四阶以上的行列式不能用对角线法则!或者：对角线法则或者：对角线法则或者：对角线法则或者：对角线法则注意注意 红红线上三元素的乘积冠以正号，线上三元素的乘积冠以正号，蓝蓝线上三线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式四阶四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则及四阶以上的行列式不能用对角线法则!把第一，二两列抄在行列式右边把第一，二两列抄在行列式右边+ + +- - -三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积.
5、 . 其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. .三阶三阶行列式的特点行列式的特点:例例例例1 1 1 1 解解解解按按按按对角线法则，有对角线法则，有对角线法则，有对角线法则，有例例3 3解：解：的充分必要条件是什么？的充分必要条件是什么？当且仅当当且仅当第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式按行(列)展开(一) 排列与逆序第二节第二节 n阶行列式阶行列式由由n个不同的数码个不同的数码1,2,1,2,n组成的有序数组组成的有序数组, ,称为一个称为一个n级排列级排列。例：例：1234512345及其及其342153
6、4215是五级排列，是五级排列，11941194、4567不是四级排列。不是四级排列。例如例如 排列排列32514 中，中， 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定不同的自然数，规定由小到大由小到大为为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序-此排列中所有逆序的总此排列中所有逆序的总数数排列的逆序数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数排列中某元素的逆序数- 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 (前面的大于后面的前面的大于后面
7、的)则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.逆序逆序-此排列中所有逆序的总此排列中所有逆序的总数数排列的逆序数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数排列中某元素的逆序数-(2)求每个元素的逆序数之总和求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法求排列的逆序数的方法例例1 1 求排列求排列42315的逆序数的逆序数解解4 2 3 1 5于是排列于是排列42315的逆序数的逆序数(记为记为N(42315)为为(1)求排列中每个元素的逆序数求排列中每个元素的逆序数 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 (前面的大于后面的前
8、面的大于后面的)则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.逆序逆序-例例2: 求排列求排列32514 的逆的逆序数序数. 3 2 5 1 4故此排列的逆序数故此排列的逆序数(记为记为N(32514)为为:N(32514)=3+1+0+1+0=5.解解:(2)求每个元素的逆序数之总和求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法求排列的逆序数的方法(1)求排列中每个元素的逆序数求排列中每个元素的逆序数例例3 3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解解此排列为偶排列此排列为偶排列.逆序数为逆序数为奇奇数的排列称为奇排列数的排列称为奇排列;逆序数
9、为逆序数为偶偶数的排列称为偶排列数的排列称为偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性解解当当 时时当当 时时故为偶排列故为偶排列故为奇排列故为奇排列.对换换换,称为此称为此n级排列的一个对换级排列的一个对换.对调对调, ,其它数码不变其它数码不变, ,仅将仅将它的两个数码它的两个数码得到另一个排列得到另一个排列这样的变这样的变在在一个排列一个排列中中, ,如果如果例如例如:（1 1）相邻对换相邻对换：设原排列为：设原排列为：A,B表示除表示除证明：证明：两个数码以外的其他数码，两个数码以外的其他数码，正正序序反序反序反序反序正序正序故新旧故新旧排列的奇偶性相反。排列的奇偶性相反。定理1.1 任意一个排
10、列经过一个对换后奇偶性改变。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。但是，但是，一般对换一般对换通常可以多次的通常可以多次的相邻对换相邻对换得到得到（2 2）一般对换一般对换：设原排列为：设原排列为：（此步经过了此步经过了s+1次相邻对换）次相邻对换） 再作再作相邻变换：相邻变换：（这一步经过了这一步经过了s次相邻对换）次相邻对换） 即新即新排列排列 可由原排列可由原排列 经过经过2s+1次的相邻对换得到。次的相邻对换得到。 由（由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性
11、相反。定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半个，其中奇偶排列各占一半。例例:对于对于3级排列级排列,因3级排列的总数共有所有的所有的3级排列如下级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶偶排列排列N(231)=2偶偶排列排列N(312)=1+1=2 偶偶排列排列N(321)=2+1=3 奇奇排列排列N(213)=1奇奇排列排列N(132)=1奇奇排列排列奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个排列中的一个,并没有产生新的并没有产生新的(即是覆盖不是插入即是覆盖不是插入)设设其中奇排列为其
12、中奇排列为p个，偶排列为个，偶排列为q个。个。因n级排列的总数共有设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇个奇排列排列全部变成偶排列，全部变成偶排列，同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列个偶排列全部变成奇排列，全部变成奇排列，故故有：有：定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。证明：证明：得到得到p个偶排列个偶排列(在原来在原来q个偶排列中个偶排列中)得到得到q个奇排列个奇排列(在原来在原来p个奇排列中个奇排列中)( (二二) ) n 阶行列式的定义
13、阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式观察二阶行列式和三阶行列式:三阶行列式三阶行列式二阶行列式二阶行列式一、概念的引入一、概念的引入乘积乘积的的代数和代数和, 两个元素的乘积可表示为两个元素的乘积可表示为:得到二阶行列式的所有项得到二阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为2!=2项项.(1)二阶行列式二阶行列式表示所有表示所有位于不同行不同列的二个元素位于不同行不同列的二个元素为为2级排列级排列,当当取遍了取遍了2级级排列排列(12,21)时时,即即(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,则此项取正号则此
14、项取正号,+-如果对应的列标构成的排列是偶排列如果对应的列标构成的排列是偶排列是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:元素乘积的元素乘积的代数和代数和,三个元素的乘积可表示为三个元素的乘积可表示为:312,321,213,132)时时,得到三阶行列式的所有得到三阶行列式的所有项项(不不(1)三阶行列式三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三表示所有位于不同行不同列的三个个为为3级排列级排列,当当取遍了取遍了3级排列级排列(123,231,(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶如果对应的
15、列标构成的排列是偶排列则此项取正号排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.包括符号包括符号),共为共为3!=6项项.例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义称为称为n阶行列式阶行列式乘积的代数和乘积的代数和,n个元素的乘积
16、可表示为个元素的乘积可表示为:时时,即得到即得到n阶行列式的所有项阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为n!项项.(1)n阶行列式阶行列式表示所有位于不同行不同列的表示所有位于不同行不同列的n个元素个元素为为n级排列级排列,当当取遍了取遍了n级排列级排列(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:行列式常简记为行列式常简记为:说明说明1、行列式是一种特定的算式、行列式是一种特定
17、的算式.2、 n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;3、 n阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列n个元素的乘积，个元素的乘积，每行每列必有且只有一个每行每列必有且只有一个元素在此项中。元素在此项中。4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为的符号为例例1 1 计算对角行列式计算对角行列式分析分析所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解1其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一
18、个第一行只可能取第一行只可能取第二行只可能取第二行只可能取第第n行只可能取行只可能取没有没有n个不为零的元素，个不为零的元素，D=0分析分析所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解1其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一列只可能取第一列只可能取第二列只可能取第二列只可能取第第n列只可能取列只可能取例例2 2 计算上三角行列式计算上三角行列式没有没有n个不为零的元素，个不为零的元素，D=0例例3解解:可以计算出可以计算出 上三角行列式上三角行列式下三角行列式下三角
19、行列式和和对角行列式一样对角行列式一样.都是主对角线上元素之积都是主对角线上元素之积.例例4 4计算行列式计算行列式分析分析解：解：所以不为零的项只有所以不为零的项只有其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第一行只可能取第二行只可能取第二行只可能取第四行只可能取第四行只可能取第三行只可能取第三行只可能取证明证明:证毕证毕例例4 4 证明证明行列式行列式例如例如:四阶行列式中四阶行列式中:即即:两项是一致的两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下可使用在
20、行标没排序的情况下行标自然数序行标自然数序行标乱序行标乱序定理定理1.3()定理定理1.3证证:相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。因此因此()项在其元素任意变换次序时符号不改变项在其元素任意变换次序时符号不改变.设经过了有限次交换()元素的位置：()变为:()带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。书书P10例例3:是五阶行是五阶行列式列式的一的一项项,则则应为何值应为何值?此时该项的符号此时该项的符号是多少是多少?解解:由行列式的定义由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行每一项的元素都来自于不同行不同列不同列,故有故有j=3, i,
21、k一个为一个为1,另一个为另一个为5.(1)当当j=3,i=5 ,k=1时时该项的符号为正该项的符号为正(2)当当j=3,i=1 ,k=5时时该项的符号为负该项的符号为负.书书P11例例3:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式解解:考虑此行列式的非零项考虑此行列式的非零项.第一列只可能取第一列只可能取第三行只可能取第三行只可能取第四行只可能取第四行只可能取（第四行如取（第四行如取则第一行取不到合适的元。）则第一行取不到合适的元。）第一行只可能取第一行只可能取例例:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式解解:考虑行列式的非零项的元素行标按自然数考虑行列式的非零项的元素行标按自然数顺序顺序对应的列标对应的列标排列可能排列可能:1241323124=1-1-1+1=0定理定理1.3()上三角行列式上三角行列式下三角行列式下三角行列式, ,对角行列式对角行列式都是主对角线上元素之积都是主对角线上元素之积.定理定理1.2 n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。定理1.11.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。n级排列的逆序数、奇偶性，对换。级排列的逆序数、奇偶性，对换。
