非平衡格林函数方法在量子点电流输运问题中的应用

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1、第 2 4卷第 4期 2 0 0 7年 1 1 月 江苏教育学院学报(自然科学版) J o u rna l o f J i a n g s u I n s t i t u t e o f E d u c a t i o n( N a t u r a l S c i e n c e s ) V o l _ 2 4 N o 4 No v 2 0 o 7 非平衡格林 函数方法在量子点 电流输运 问题 中的应用 葛 传 楠 杨 军 ( 1 江苏教育学院物理系，江苏南京2 1 0 0 1 3 ； 2 解放军理工大学理学院，江苏南京2 1 0 0 0 7 ) 摘 要本文首先简要介绍了量子点的制备方法、 量

2、子点输运过程中的两个重要现象： 库仑阻塞现象和近藤效应 接 着 以一个简单的量 子点与导线耦合 的例子 ， 介绍非平衡格林 函数方法用于研究量子点直流输运问题的六个基本步骤 关键词模型哈密顿量； H e i s e n b e r g 运动方程； 解析延拓定； l e s s e r 格林函数； 宽带近似； 自能； 推迟格林函数； 输运电 流表达式 笼统地说， 空间尺寸介于宏观和微观之间的系统即被称为介观系统 介观系统电子行为的主要特征是电子通过样品之后仍 能保持自己波函数的相位相干性 人工微结构包括量子阱、 量子线和量子点， 电子的运动由有效势控制 有效势在一、 二或三个 方向上对电子加以限

3、制， 这些限制带来明显的量子效应 若将电子或空穴在三个方向上的运动都限制住， 我们就可得到具有零 维结构的量子点 由于量子局限效应， 导致量子点中的电子只能占据类似于原子的分立的能量状态， 因此量子点又被称为“ 人造 原子” ( a r t i fi e i a t o m) 1 正常量子点结构 量子点是一种人工固体微结构， 常见的量子点装置是由不同半导体材料( G a A s A 1 G a A s ) 构成的异质结构 自由电子被束缚 在 G a A s 层和 A I G a A s 层之间， 形成二维电子气( 2 D E G) 一般借助于蚀刻技术或者外加金属门电压来实现对这两维的限定， 最

4、终 形成一种通过隧道栅极与源极和漏极有微弱耦合的结构 1 1 量子点的制备方法用于制备量子点( Q D s ) 的方法已有多种， 如刻蚀技术， 通过刻蚀量子阱或超晶格图案来制备， 半导体 气相制备技术中的分子柬外延的自组织生长方法( m o l e c u l a r b e a m e p i t a x y ) 和化学气相沉积法等 分子束外延的自组织生长方法 是通过在异质衬底上沉积 自组织生长获得一定尺寸和取向的量子点 掩膜表面选择局部生长法先用通常的电子束刻蚀方法在 G a A s 表面做一个有规则条形窗口的 S i 0 2 掩膜， 然后再在掩膜上用 M O C V D方法选择生长 G

5、a A s 利用 G a A 1 G a A s 异质结腐蚀方 法也可以形成量子点结构， 并可做成量子点阵列 1 2 库仑阻塞现象量子点电流输运的一个重要现象是库仑阻塞现象 在我们对量子点的研究中， 不但电子的波动性是 关键， 而且以e为单位的电荷的分立性也具有重要性 纳米结构的电容 C可能会非常小 ， 以至于给量子点增加一个电子的荷电 能 e 2 2 c 会超过其热运动能 一个大的电荷能可以阻止纳米结构增加或移走甚至是一个电子， 这就是所谓在量子输运过程中的 库仑阻塞效应， 这是一个经典的现象 1 3 近藤效应近藤( K o n d o ) 效应是凝聚态物理理论中最重要的现象之一， 它描述的

6、是导带电子与局域磁性杂质在低温条件 下的多体关联效应 人们通常用含有奇数个电子的量子点来模拟局域磁性杂质， 实现所谓人控的 K o n d o 模型 可见， 量子点近藤 效应的实质就是周围近 自由电子对量子点 自旋的屏蔽 图 1 1 4 量子点系统的基本结构如图 1所示， 圆形表示量子点( d o t ) ， 又称 中心散射区， 两边为金属导线， 分别称为左导线 ( 1 e a d L ) 和右导线( 1 e a d R ) ， 在量子点上加有偏压 由于量子点中的空穴的质量远远大于电子的质量， 所以我们假设量子点中 的空穴不参与输运 ， 而只是充当背景 这一假设与 F e r r e i r

7、a s 实验 结果一致 ， 可见在这个简单模型中， 只有电子充当载流子 当 l O 导线中产生电子、 量子点中消灭电子时， 即认为有输运电流从导线流向量子点 ， 反之则为电流由量子点流向导线 导线中电子数 对时间的导数与电子电量的乘积即为输运电流的大小 2 量子点中直流电流的计算 格林函数理论是在 2 O世纪5 O年代到6 0年代初期建立起来的， 是量子统计中卓有成效的理论方法之一 它的基本点是把量 子场论的F e y n ma nD y s o n技术移用于统计物理问题 ， 用来研究相互作用多粒子系统的性质 到了2 0世纪 6 0年代后期， 格林函 数理论已经在许多方面取得了重要成就 ， 成

8、为一种被普遍采用的重要理论工具 ， 以后统计物理学的新发展或多或少都是以它为 基础的 本文将 以一个简单的量子点与导线耦合的例子， 介绍非平衡格林函数方法用于研究量子点直流输运问题的基本过程 2 1 模 型哈密顿量 首先我们假定要研究的系统可以用以下哈密顿量描述( 取五=1 ) ： H =H o+Hr ( 1 0 1 ) =s h c c b+ d ( 1 o 2 ) 何 =( c d + c c ) ( 1 0 3 ) 这里， ( 1 ) c 是描述金属导线 中电子的产生算符， c b是描述金属导线 中电子的消灭算符 ( 2 ) 其中8 =8 0h+q v 。 ， 0 是导线 中的能级， 是

9、外加偏压 ( 3 ) 是描述无相互作用的金属导线和量子点的哈密顿量 ( 4 ) 是描述量子点与导线间的 隧穿哈密顿量， 是耦合常数 2 2 时间表象下从导线流向量子点的电流表达式 由H e i s e n b e r g e q u a t i 。 n ： A( ) ， HI可得 ： = 一 d ， H I = 一 o c L d 一 c 。) = q 警= 一 iq c c c 一q Z T G I) 一c ( 1 0 4 ) 时间表象下格林函数的定义式 G ( t ， f ) ； 一 =J 。 G ( t ， ) 吃 g h ( ， f ) ( 1 0 5 ) 其中G ( ， ， t )；

10、一i， g h( t 。 ， t ) 一i。 分别表示量子点和导线的格林函 数， 。表示量子点与导线之间无耦合， 是解析延拓路径上的编时算符 根据解析延拓理论， 若 D=A B C， 则有 D c=A C +A 曰C +A曰 C 。 ( 1 0 6 ) 所 以由式( 1 0 6 )即可写 出 G 妇 ( t ) =f 。 c L ( t ) ( t I ) + G ，： I ( ) 能( # ) ( 1 0 7 ) 正常金属导线 中电子的格林 函数一般定义为 g ( t ， t )= 一i O ( t t ) 0 g ( t ， t ) ：i O ( 一t +t ) 0 g 三( t ， t

11、)=一 i o g 三( t ， t )= 0 若 用 哈 密 顿 量 ： h c C ka 描 述 无 相 互 作 用 的 金 属 导 线 ， 则 由 H e i s e n b e r g e q u a ti 。 n = A ( t ) ， 可 得： ( ) = c ( t ) ， 日 ：一s bc ( t ) c ( t ) = c ( to ) e x p i J 8 h ( t 1 ) d t 1 同 理c b ( ) = c h ( ) e x p 一 i I 8 妇 ( t 1 ) d t I 所以推迟格林函数为 r ( ， t ) = 一 i O ( t t I ) e x

12、p 一 i f ，F h ( t ) d t 1 同理可得超前格林 函数为 一1 l 一 ( )=汨( t 一t ) e x p 一 b( f 1 ) d t 。 ， ( )=( c ( ) c b( t o )o g 五 ( t t ) = if ( s 0b ) e 叩 一 i I k ( 1 ) d t 1 同理 ( t t )=一i ， r ， n ) 对于直流输运问题， 有如下关系 G r ( t ， t 1 )=G ( t t 1 ) ( 。 ) = ( ) 2 3 能量表象下从导线流向量子点的电流表达式 ( 1 )能量表象下导线中电子的格林函数 我们知道， 处于局域平衡态下的导线

13、中的电子的推迟格林函数以及超前格林函数分别定义为： g rb ( t t )=一 i O ( t t ) ( c h ( t ) ， c L ( t ) ) 0 成 ( ， t )=i O ( t 一 ) ( c h( ) ， c ( t ， ) i ) 。 将( 1 1 0 )作傅立叶变换： g ( )=Jd ( t t ) e x p ( t t ) g r ( t t ) = ( t ) e 印 一s L 一 z ) ： 一 一s + 6 用同样的方法可求得能量表象下的、 导线中电子的超前格林函数为： 比 ( cI，) 专 ( 2 )能量表象下金属导线与量 子点间的输运电流 由傅立叶变换

14、A ( E )=J d t e x p ( 1 E t ) A ( ) ) = J ( 一 iE t ) A ( E ) r c r ( t , t I )=G r ( t t 1 ) ： 可 将 时 问 表 象 下 的g 三 ( ， ) = e 印 一 i f s b ( 。 ) d t ) 改 写 成 能 量 表 象 下 的 表 达 式 ( )=2 r ( ) 6 ( 一8 b) 用 同 样的 方 法， 我 们 可 以 将盛( z ， t ) = ( ) 一 1 e x p f i I ( z ) d t 改写成能量表象下的表达式 ( )=一2 1 r i 1- A( ) 6 ( 一s k) 其中 ( ) 孟 为F e r m i 分 布 函 数 已知在时间表象下 ： 豉 ( t ， t )= ( t 一t ) e x p 一i e b( t t ) g ( t , t )=一i o ( t t ) e x p 一i 8 b( t t ) 一1 2 一 ( 1 0 8 ) ( 1 o 9 ) ( 1 1 O ) ( 1 1 I ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 。g ：a ( E ) 一 g ( E ) = 一 J x p i ( E e ) t d t i ； e x p i ( E 一 8 ) t d t = 一