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1、第五节 稳定裕度1稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：2当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。 这时： 。对于最小相位系统， 可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度 ，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 度。 在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即3显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的 ；否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时 发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统 的稳定裕度。常用相角裕度。幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加 倍（奈氏图）
2、或增加 分贝（波德图），则系统处于临界 状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳 定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将 相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳 定。4例设控制系统如下图所示 k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度 。-解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得 。 当k=10时，开环系 统波德图如右所示 。这时系统的相位 稳定裕度和幅值裕 度大约是8dB和21 度。因此系统在不 稳定之前，增益可 以增加8dB.5相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处， ，所以 ，解 此方程较困
3、难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以 ：穿越频率处的相角为：相角裕度为：6幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处 的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：7当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是- 12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。8例5-11某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳 定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-解：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log20
4、0)点画斜率为-20的斜 线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、 后画斜率为-60的斜线。9上图蓝线为原始波德图。 ，显然 闭环系统是不稳 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放 大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？ 10，从图中看出： 。所以原始 幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是 30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有（讨论 时较明显）。解得：11带有延迟环节系统的相位裕度的求法： 设系统的开环传递函数为： ，我
5、们知道增加了延迟环节 后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和 波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。左图中，红色曲线为Gk(s) 频率特性，兰色曲线为增 加了延迟环节后的频率特 性。其幅值和相角穿越频 率分别为 和 ，相角裕度分别为 。显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性 ，其相位裕度必须大于零。即：12稳定裕度概念使用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(- 1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：13
