金融数学引论讲义-chapter4

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1、第四章 11 第四章 本金利息分离技术 第二章讨论的年金方式的现金流是许多现实金融活动和产品的基础但是实际操作中在年金的期限内金融市场会有很多的变化无论是投资者还是融资者都需要随时评估其已经进行的投融资的价值在这种评估中很重要的是如何分析现金流中的内在价值本金和时间价值利息一般的金融产品或活动的现金流很复杂本章以贷款业务为例介绍价值评估中常用的本金利息分离方法这些方法是有一般意义的可以广泛的应用于各种现金流的分析特别强调以下两种方法 1. 摊还表方法amortization schedules指对未清偿债务本金和利息的定期支付实质上代表一种定期分期偿还贷款的做法对此还有一些其它的用词 摊销将资

2、产的账面价值按照费用的收益期进行分配 摊提指通过定期地从收入中提取费用逐步减少一项使用期有限的资产或无形资产成本值的会计程序对固定资产用折旧depreciation一词对耗费性资产如自然资源用折耗一词大多数公司遵循保守的做法通过摊提来冲销诸如商誉之类的无形资产对于在购买优先股或债券投资中所支付的高出平价值的溢价部分也常常进行摊提其目的是反映转售价值或赎回价值摊提也指通过定期的利息和本金偿付所进行的债务支付扣除在到期时足以还清一笔贷款长期固定债务中的贴现与费用按事先确定的日程表提取适当比例的收入进行摊提通常摊提有顺序地进行但也允许不按规定的时间和数量从收入或损失中提取费用对余留的贴现和费用额进行

3、摊提这些会计账务在公司年报中应详细给出 2. 建立偿债基金方法sinking fund指借款人为偿还债务所成立的基金借款人会在指定期限内分期拨款入基金累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债款一般的债券发行多附有要求借款人设立偿债基金的条款 同时本章围绕这两种方法产生的计算问题是 1如何确定投融资期间每个时刻的未结贷款余额 2如何将投融资期间的现金流分解为本金和利息两部分 3不同的本利分离方法对投资收益结果分析的影响 4.1 摊还表 在摊还表方法中很重要的是计算每次还款后的未结贷款余额这一节分为两部分讨论摊还表方法 第四章 22 4.1.1 计算未结贷款余额(Outstanding loan ba

4、lance) 这个量从文字表述上也可以称为未结本金未付余额剩余贷款债务等它的实际背景是在贷款业务中每次分期还款后借款人的未偿还的债务在当时的价值例如某家庭现有一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款在已经付款 12 年后因为意外的一笔收入希望一次将余款付清应付多少在固定收益投资中投资期间的每个时刻投资的账面价值 计算这个量的常用方法有两种预期法prospective和追溯法retrospective顾名思义前者是用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额后者是用原始贷款额的累积值扣除所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额可以证明两种方法的结果是一致的 这种计算贷款余额的方法的基本思想可

5、以用下面的一组等式表示 首先在贷款之初有 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 然后将上式的两边同时累积到还款期间的某个时刻则有 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻的价值之和 其中等式右边又可以分成两部分过去的还款和未来的还款这两部分的价值计算是不同的前者的价值为现值后者的价值为终值因此上式又可以表示为 原始贷款额的终值 = 过去还款的终值 + 未来还款的现值 如果将上式右边的第一项移到左边则新等式的右边表示预期法左边表示追溯法 这里仍采用前面的记号进行计算用tB表示时刻t的未结贷款余额为了区别所采用的计算方法分别用p tB和r tB表示预期算法和追溯算法的结果原始贷款金额0B一般用L

6、表示两种方法在实际应用中并没有明显的优劣之分一般情况下如果所有的还款额和还款时间已知则采用预期法如果还款次数未定或最后一次的还款金额未定则采用追溯法下面考虑一些特殊还贷情况下的未结贷款余额的计算 1 还贷金额固定贷款利率为in次偿还每次 1 元 对任意的时刻tt= 012ntB表示第t次还款后瞬间的未结贷款余额 预期法 p tB= itna| (4.1.1) 追溯法因为这时的原始贷款额L等于ina| 所以有 r tB= t inia)1 (| +its| (4.1.2) 结论4.1 1预期法和追溯法计算得到的未结贷款余额是相同的即 p tB=r tB 2还贷金额固定贷款利率为in次偿还每次 1

7、 元那么未结贷款余额有如下递推关系 第四章 33 1(1)1ttBi B=+ 证明 1t inia)1 (| +its| = tn iiv)1 (1+its| itna| 2根据4.1.1和4.1.2可得结论这里不再详细证明 证毕 已知贷款金额设原始贷款金额为L贷款贷利率为in次还清首先计算每次的还款额R Rina| = L 或 RinaL| 那么对任意的时刻tt = 012n则有 预期法 | | | | | ()ntip tntin ti niniaLBRaaLaa= (4.1.3) 追溯法 r tB= )1(| | initt as iL+(4.1.4) 例 4.1 某贷款的还贷方式为前五

8、年每半年还 2000 元后五年每半年还 1000 元如果半年换算的挂牌利率为 10%分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷款余额 解1) 预期法 pB5= 200005. | 5a+10005 05. | 10va = 100005. | 15a+05. | 5a = 14,709 2.追溯法 需要先计算原始贷款金额L L = 100005. | 20a+05. | 10a = 20,184 rB5= 201845)05. 1 (200005. | 5s= 14,709 例 4.2 某三十年的贷款每年还 1000 元 在第十五年的正常还款之后 借款人再一次多还 2000元如果将其全部用于扣除

9、贷款余额剩余的余额分十二年等额还清年利率 9%计算后十二年的年还款额 解 首先用预期法计算第十五次还款后的贷款余额 p tB= 100009. | 15a= 8060.70 因为同时还了 2000 元所以实际贷款余额变成 6060.70 元因此后十二年的年还款额X应满足以下方程 09. | 12Xa= 6060.70 即 X= 846.38 元大致降低了 15.4% 第四章 44 4.1.2. 摊还表 在上面例 4.2 中的提前还贷对贷款方投资的收益是很有影响的原投资计划是 30 年每年收益 9%提前还贷后一方面2000 元的还款要寻找 15 年 9%的投资机会另一方面还款期提前了 3 年也给

10、投资人带来了再投资的风险如何处理这类问题就是摊还方法要回答的在有些情况中也希望将每次的还款额分解为还本金和还利息两部分这样作对借贷双方都是有意义的比如有些情况下本金和利息的税收是不一样的 摊还方法的基本原理是贷款的分期还款中利息偿还优先首先偿还应计利息余下的部分作为本金偿还具体表示为若还款额R利息tI本金tPtB表示第t次还款后瞬间的未结贷款余额则有 首先 1ttIiB= 然后 ttPRI= 这样将保证以下两种计算贷款余额的方法等价 1(1)1ttBi B=+ 和 1tttBBP= 这表明tP只是在不断的减少贷款余额本金与利息无关 所谓的摊还表就是将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息同时列

11、出每次还款后的未结贷款余额下面的表 4.1 即为贷款利率为i每次还款 1 元共计n次的贷款模式下的摊还表这时的贷款额为ina| 表 4.1 ina| 摊还表 时间t 还款额 利息tI 本金tP 未结贷款余额tB 0 ina| 1 1 iina| = 1nv nv ina| 12 1 iina| 1= 11nv 1nv ina| 2t 1 iitna| 1+= 11+tnv 1+tnv itna| n1 1 iia| 2= 12v 2v ia| 1n 1 iia| 1= 1v v 0 第四章 55 总和 n nina| ina| 从表 4.1 可以看出以下几点 1在第一次还款的 1 元中利息部分

12、为iina| =1nv 本金部分为nv可以直接将未结贷款余额理解为原贷款扣除已还的本金即 1B=ina| nvina| 1同样地对任意时刻t也有类似的结论即时刻tt = 012n的 1 元还款可以分解为利息量tI和本金量tP两者的计算公式分别为 tI= 11+tnv t =12n (4.1.5) tP= 1+tnv t =12n (4.1.6) 因此未结贷款余额为 tB=1tBtP t =12n (4.1.7) 显然这与前面的定义是一致的 2所有本金之和等于原始贷款即 | 1111nn tn tnntavvP=+3所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差即 =ntntPnI114本金序列依时

13、间顺序构成递增的等比级数比值为(1+i) 1(1) ,1,1ttPi P tn+=+=K 5利息序列依时间顺序构成递减数列 1,1,1tttIIiP tn+=K 或 1,1,1tttIIi tnP+= =K 以上两条意味着在等额还款方式下前期的还款主要用于偿还利息多贷款本金余额的降低幅度不大 表 4.1 虽然是一种特殊贷款的摊还表但它有很多的用途利用它可以很容易地计算一般情况下贷款的摊还表例如 1每次还款额为R则有 tI=R(11+tnv) t =12n (4.1.8) tP= R1+tnv t =12n (4.1.9) 因此未结贷款余额为 第四章 66 tB=Ritna| t =12n (4

14、.1.10) 2原始贷款额为L那么每次的还款额R为 RinaL| 进而有摊还表的对应计算 tI=inaL| (11+tnv) t =12n (4.1.11) tP=inaL| 1+tnv t =12n (4.1.12) 因此未结贷款余额为 tB=initn aa L| | t =12n (4.1.13) 在实际摊还表的计算中常常采用下面这组递推公式 0B=L tI=i1tB t= 12n (4.1.14) tP=RtI t= 12n (4.1.15)tB=1tBtP t= 12n (4.1.16) 例4.3 表 4.2 为 1000 元贷款利率 8%的四年还贷摊还表 表 4.2 年利率 8%的

15、 1000 元贷款摊还表 年份 还款额 利息 本金 未结贷款余额 0 1000 1 301.92 80.00 221.92 778.08 2 301.92 62.25 239.67 538.41 3 301.92 43.07 258.85 279.56 4 301.92 22.36 279.56 0 例4.4 (续例 4.2) 如果在例 4.2 的条件中去掉如果将其全部用于扣除贷款余额这个条件用摊还的思想计算设 2000 元额外还款中的本金和利息部分分别为P和I则有 2000PI+= 和 (8080.70) 9%IP= 进一步有 (8080.702000) 9%502.08(19%)I=+和 2000502.081497.92P = 实际贷款余额为 6582.78 元因此后十二年的年还款额X应满足以下方程 第四章 77 09. | 12Xa= 6582.78 即X= 919.29 元