《电动力学---数学准备》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学---数学准备（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学准备数学准备汪汪毅毅汪汪毅毅学习目的学习目的学习目的学习目的掌握电动力学的“语言语言”，即如何描 述矢量标量及其场的特性希望懂懂述矢量、标量及其场的特性。希望懂懂、 记、用、 记、用（三结合）。联想电场强度E E（电位移矢量D）和联想：电场强度E E（电位移矢量D）和 磁场强度H H（磁感应强度B），以及磁磁场强度H H（磁感应强度B），以及磁 矢量势A A都是矢量场，静电场势是 标量场（它的梯度是矢量场）标量场（它的梯度是矢量场）。目 录目 录1矢量代数矢量代数1.矢量代数矢量代数2.梯度、散度、旋度定义和意义梯度、散度、旋度定义和意义3.关于梯度、散度、旋度的一些定理关于梯度、散度、旋
2、度的一些定理 常用常用算符算符运算公式运算公式r4.常用常用算符算符，运算公式运算公式5矢量场的矢量场的一一些定理些定理r5.矢量场的些定理矢量场的些定理 符号及函数符号及函数6.7.并矢和张量并矢和张量矢矢 量量矢矢 量量,AAAAAAA=?矢量的定义：,AAAAAAA矢量的定义：直角坐标系中：xxyyzzAA eA eA e=+?3iiAA e=?3122222 123()iAAAAAA=+=?1ii i=123 1()i i=?ABBA+=+()()ABCABC+=+?()a ABaAaB+=+?矢量的标积、矢积矢量的标积矢量的标积 cosa babbbb =?矢量的矢积矢量的矢积x x
3、y yz zaba bab=+矢量的矢积矢量的矢积sinababn=?xyzeee?xyzxyzaaa bbb=xyz三矢量的混合积()()()abcbcaca b=?()()()()()()abcbcaca bacbbaccba=?()()().acbbaccba= = = 注意：三个矢量按注意：三个矢量按 循环次序轮换循环次序轮换其其循环次序轮换循环次序轮换，其其 积不变。顺时针积不变。顺时针 （ ）逆时针逆时针（+），逆时针逆时针（- ）。）。三矢量的矢积 ()()abcb a cc a b=? ?()() ()()()a b ca b ca b c =?()()()()()yzxzya
4、 b ca b ca b cbbbb =()()()()yx yy xzz xx za bc bca bc bcbbb=()()()()xy yz zxy yz zb acacc ab abbbbb=+()()xx xy yz zxx xy yz zb ac acacc ab ab ab=+ ?()()xxb a c c a b= ? ?场的概念场的概念指定时刻指定时刻空间中的每点空间中的每点都对应都对应指定时刻指定时刻，空间中的每空间中的每一一点点，都对应都对应 着某个物理量的确定值着某个物理量的确定值，就说在这空就说在这空着某个物理量的确定值着某个物理量的确定值，就说在这空就说在这空 间中
5、确定了该物理量的场。如果这个间中确定了该物理量的场。如果这个 物理量是标量，就称为标量场，如温物理量是标量，就称为标量场，如温 度场度场电势场等电势场等如果这个物理量是如果这个物理量是度场度场，电势场等电势场等；如果这个物理量是如果这个物理量是 矢量矢量，就称为矢量场就称为矢量场，如电场如电场，磁场磁场矢量矢量就称为矢量场就称为矢量场如电场如电场磁场磁场 等。等。描述标量，矢量的变化规律描述标量，矢量的变化规律对场的研究很重要的是要研究标量场和矢量场在对场的研究很重要的是要研究标量场和矢量场在空间的变化规律，描述标量场在空间变化规律的空间的变化规律，描述标量场在空间变化规律的量是梯度量是梯度描
6、述矢量场在空间变化规律的量是散描述矢量场在空间变化规律的量是散量是梯度量是梯度，描述矢量场在空间变化规律的量是散描述矢量场在空间变化规律的量是散度和旋度度和旋度。度和旋度度和旋度。( , , , )( , )x y z tx t=?标量场场用空间和时间场用空间和时间 ( , , , )( , )A x y z tA x t=?矢量场坐标的函数来描述坐标的函数来描述：稳恒场（稳定场）：场与时间无关稳恒场（稳定场）：场与时间无关变化场（时变场）：场与时间有关变化场（时变场）：场与时间有关( )/f xdfdx函数的微商有什么意义？( )ff函数的微商有什么意义dfdfdfdxdx=( )dff x
7、dx描述了函数的变化快慢假设现在有一个温度场T(x,y,z)，如何描述温度变 化的快慢呢？TTTdTdxdydzxyz=+xyz()xyzxyzTTTdTeeedxedyedzexyz=+? yT dl = ?TTTTeee=+? xyzTeeexyz+dTT dl= ?dT的值：cosT dl= ?cos1dlT=?只有当即与方向一致的时候cos1,dlTdTTdT=只有当即与方向致的时候，值最大。也就是说沿着方向，的取值最大也就是说沿着方向，的取值最大。标量场的梯度是一个矢量，它的方向沿的标量场的梯度是一个矢量，它的方向沿的 空间变化率最大的方向空间变化率最大的方向大小等于大小等于 的最大
8、的最大空间变化率最大的方向空间变化率最大的方向，大小等于大小等于 的最大的最大 空间变化率空间变化率。空间变化率空间变化率。算符直角坐标系eee =+?直角坐标系xyzeeexyz+柱坐标系1eee =+?柱坐标系rzeeerrz+球坐标系11 sinreeerrr =+? sinrrr矢量场的通量矢量场对任意封闭面任意封闭面的积分称为对封闭面的通 量记作A?A?量，记作： A dS =?S矢量场的通量0,表示S面内有矢量场的正源表示 面内有矢量场的负源0,表示S面内有矢量场的负源0 表示S面内无源或者正负源=0,表示S面内无源或者正负源 相互抵消相互抵消矢量场的散度设矢量场中某点P，包围P点
9、的任意闭合面任意闭合面是S，V是 S包围的体积P点在V内P点处的散度表示为S包围的体积，P点在V内，P点处的散度表示为：liSA dS di A? ?0limSvdivAV =yxzAAAA= =+?高斯公式xyz高斯公式：AdVA dS =?VSAdVA dS = ?矢量场的环流环流：矢量场环流：矢量场A对任意封闭曲线对任意封闭曲线l 的线积分定义的线积分定义 为矢量场为矢量场A的环流，记作：的环流，记作： ?lA dl =? 0 表明在区域内存在涡旋状态l0表明在区域内存在涡旋状态=0表明在区域内不存在涡旋状态矢量场的旋度 设矢量场中某点P，包围P点的闭合线l，S是l包围 的面积P点在S内
10、P点处的旋度表示为：的面积，P点在S内，P点处的旋度表示为： limA dlrotAn=?0lim SSxyzeee? yxyzA = =?0lim lSnA dlS ?的方向是取值最大的方向xyzAAA斯托克斯公式： ?SlAdSA dl = ?梯度，散度，旋度有关定理标量场的梯度必为无旋场标量场的梯度必为无旋场 0矢量场的旋度必为无源场矢量场的旋度必为无源场 ()0A?无旋场必可表示为标量场的梯度无旋场必可表示为标量场的梯度()0A 无旋场必可表示为标量场的梯度无旋场必可表示为标量场的梯度 0,ff= ?若则无源场必可表示为另一个矢量的旋度无源场必可表示为另一个矢量的旋度ff?0,ffA=
11、 ?若则证明1标量场的梯度必为无旋场 xyzeee ? 证明证明：xyz =() xyz xyz 2222?xyeey zz yz xx z=+ ?22zex yy x+ ?0=x yy x 证明2矢量场的旋度必为无源场证明证明：()A ?xyzeee ?()xyzeee =+?xyzxyzxyzAAA xyzAAAyyxxzzAAAAAA+yyxxzz xyzyzxzxy=+222222 yyxxzzAAAAAA x yx zy zy xz xz y=+ x yx zy zy xz xz y 0=常用算符运算公式()() = +1、2、()()()fff= +? 3、()()()fff= +
12、() ()()fgfgfg= ?4() ()()fgfgfg= 4、()()()()()fgg fgff gfg= + ?5、()()()()()fgg fgff gfg()()()()()fgfgfggfgf= + +?6、()()()2= 7、()()2fff = ?8、() = + 证明1证明证明：证明证明：()()()eee=+?()()()()xyzeeexyz+()222222 yyxxzzAAAAAA x yx zy zy xz xz y=+ x yx zy zy xz xz y ()xyzeeexyz=+?()xyzeeexyz+?=+()fff= + ?证明2证明证明证明证明: :()()()xyzfff=+()f? ()()()xyzfffxyz()yxz xyzffffffxyzxyz=+xyzxyzff= +?2() =证明3证明证明证明证明: : xyzeeexyz=+?() xyzeeeeee + ? xyzxyzeeeeeexyzxyz=+ 222222xyz=+2= 2称作拉普拉斯算符xyz2 又称作拉普拉斯算符几个重要的公式令( , , )uu x
