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1、第一章 绪论：几何学时间与 空间的数学起源及论证几何*衡阳师范学院数学系衡阳师范学院数学系 唐祥德*衡阳师范学院数学系一、几何学的进步概说*衡阳师范学院数学系1、时间的几何模型是一维的直线没有开端，也没有终结 2、现实空间的直观描述是三维的；古希腊数学家研究点、线、面的关系， 更建立起公理体系被称“欧氏空间”，其上的何学，即“欧氏几何学”这种 研究方法，常称为综合几何学的方法 3、笛卡儿发明了坐标系，把欧氏空间的点变成有序的三元数组（x,y,z）, 曲 线是用只有一个参数的方程表示曲面则用含有两个参数的方程表示用代 数方法进行演算，使得几何学插上了翅膀解析几何学由此诞生 4、欧氏几何中平行公理
2、的研究，导致非欧几何学的产生其实，现实世界 中并非只有一种几何一一欧氏几何学例如球面上的几何学(以大团作“直线” 看)，就不满足欧氏平面几何的公理体系19世纪发现的非欧几何学，打开 了新的天地 5、几何图形可以搬来报去，不改变图形的面积、体积中国有所谓“出入相 补”原理即基于此种想法但是相似变换，可以把图形放大缩小，面积 体积随之而变化把物体投影在墙上，形状有变化的成分、也有不变的成分 这种变和不变，成了几何学的研究对象射影几何学成了一门学问*衡阳师范学院数学系射影几何把线段的长短以及角度的大小都改变了，但是还是有一些东西没有变：相 交、共线、共点等等都是深入的研究发现，射影变换不改变四点的“
3、交比”德国 数学家F克莱因进一步得出结论：几何学原来是研究不同变换群下几何不变量的学 科这一被称为“爱尔兰根”纲领的数学成就，影响了整个几何学的发展方向 6、欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只能研究直线、平面、直方体的变化 由“直”向“曲”的进化，来自微积分的推动高斯一般地研究曲面上的几何学，即经 典的微分几何学 7、从平直的欧氏空间进到弯曲的一般空间，不仅仅是弯曲程度一个变化，更重要 的是整体结构有改变我们知道球面、环面具有很不相同的结构可是，人们注意 到，球面和环面，以及许多曲面，从局部看都差不多，环面上一点周围的一小片， 和球面上一点周围的一小片，没有什么大的不同区别的关键在于整体这种
4、把曲 面看成许多小块圆片堆积而成(堆成不同的结构)的观点，就是近代几何学家所说的 流形流形的整体结构就是拓扑学的研究对象 8、20世纪韧，爱因斯坦创立”狭义相对论”他把一维的时间和三维的欧氏空间放 在一起考察引起了物理学的革命数学上的四维空间，成为现实的对象1915 年，爱因斯坦又创立“广义相对论”，把宇宙看成是弯曲的四维空间这样，微分几 何学和高维几何学结合起来初等几何的三个要素形状、度量（测量）、结构。*衡阳师范学院数学系几何从哪儿来？1、几何的起源无意识几何阶段“形”的萌芽“形”的意识来自二个方面：一方面，同“数 感”一样，人在初始状态（幼儿时或远古时 ）对物体的“形状”就有感觉。人们反
5、复感受 到自然界中某些物体的较为稳定的形状(如 太阳、月亮的圆形)之后，便慢慢地把这些“ 形”留在了他们的记忆之中，并在劳动中加 以运用。（中国古代：天圆地方）;另一方 面,形的意识还来自于人们的实践活动。*衡阳师范学院数学系“形”的萌芽与“数”的历史一样古老，“形”的历史可以追 溯到公元前3000年左右甚至更远。*衡阳师范学院数学系“形”的萌芽在中国甘肃省景泰县张家台(新石器时代， 约公元前2000年左右)出土的彩陶罐 *衡阳师范学院数学系“形”的萌芽我国龙山文化遗址(新石器时代)的考古过程 中发现一些陶片,距今约为4000年4500年 。 *衡阳师范学院数学系“形”的萌芽人们在无数次的奔波
6、往来之中，为了发现 最短的道路，渐渐地产生了“直线”的概念。 又如“点”的概念在拉丁文Pungo中就是一个 实践性概念，意为“刺”、“触”。*衡阳师范学院数学系度量的意识在人们对“形”的意识逐渐稳定下来后，会产生度量的意识形成“数”的概念时借助人体肢节作为“匹配工具”一样，人 们起初很可能也是借助于人的身体的各个部位，作一些简 单的测量。例如，为了测量长度，成人男子的步子被当作通行的测量 单位，面且这种做法保留至今。除此之外，手指的宽度、 关节的长度等都曾用作测量单位，中国古代中医寻找穴位 使用指宽定位。*衡阳师范学院数学系度量的意识古希腊数学家Herdotus认为几何是埃及人发现的，因为尼罗
7、河每年遭 受洪水泛滥而冲毁土地的界限。这样，人们为了重新界定土地，不得 不进行反复的测量活动，从而产生了几何学，拉丁文Geometry的原 意即为“测地术”。中国古代使用的词语“几何”意为“多少”，与测量活动 也是密切相关的。古埃及在齐阿普斯王朝(公元前2900年左右)时代建造起来的金字塔便 是一个典型的例证，其塔基是一个“标推”的正方形，各边的误差不超 过万分之六。古巴比伦的一块泥板(约公元前2200年)就载有一幅表示15片土地的平 面图，其中7块为直角三角形，4块是矩形，另外4块则为直角梯形。*衡阳师范学院数学系 “结构”意识在人类活动的初期，其表现的特征是简单 的模仿和比较。如太阳从地平
8、线线上升起 ，也许是圆与直线位置关系的自然原形。*衡阳师范学院数学系总之，“形”的意识、“度量”意识和“结构”意 识来自于人们对自然界的感受和体验，来 自于适应大自然、改造大自然的实践活动 。这是人类在几何领域中最原始、最基本 的抽象活动，是对几何的粗浅而简单、直 接而形象的认识。我们把这一阶段的几何 称作无意识几何(阶段)。*衡阳师范学院数学系2、几何的发展经验几何阶段当人们经历了无意识几何的漫长酝酿之后 ，初步形成了“形”的意识，进而尝试着做一 些简单的“度量”工作，同时对几何“结构”关 系的探索活动也慢慢地开始了。这样几何 就从无意识几何阶段步人了经验几何阶段 。 所谓经验几何，就是人们
9、通过对大量的具 体几何素材进行反复的感受和体验，归纳 、概括出较为一般的几何关系，在实践中 对之加以验证和检验.*衡阳师范学院数学系经验几何思想方法“特例研究发现法” 据说，法国数学家帕斯卡在孩提时期，曾经通过把一个三 角形纸板经裁剪拼凑的方法得出了三角形的内角和等于 180。的结论。这也许是现在教科书中拼凑实验法的最初 来源。所谓“特例研究发现法”，就是对具体事例进行分析、研究 和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现几何关 系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解决问题的办 法，从而达到解决问题的目的。*衡阳师范学院数学系经验几何的思想方法“实验研究发现法”对一些难度较大的问题的进一步
10、探索，被 迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的 、近似的处理。 *衡阳师范学院数学系古埃及人对圆面积的计算公式 这就相当于取为316057l。那么埃及人的这个“公式是如何得到的呢? 按照一般的推测，很可能是通过“比较”法得 出的：作一个直径为d的圆，与边长小于d 的正方形的面积进行反复比较，从面找到 一个合适的正方形边长为 的正方形。*衡阳师范学院数学系中国古代曾经采用类似的方法 得出球体体积的近似值用黄金 分别做成直径、边长均为一寸 的球体和正方体，称得球体重 9两，正方体重16两，比较、 归纳之，得球体体积为。经折 算,圆周率相当于3375，很 明显，误差较大。*衡阳师范学院数学系一点引申
11、：经验几何中所包含的主要思想 方法便为“不完全归纳法”，而这一方法在发 展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效 能，因为“任何一种新的数学理论，只靠严 谨的逻辑演绎是推不出来的，必须加上生 动的思维创造，一旦有了新的想法，采取 了新的策略，掌握了新的技巧，数学思维 就前进一步。” *衡阳师范学院数学系3、论证几何阶段然而，在历史上人们并不满足于这种“粗糙” 的几何，同时出于对精确和完美的一种强 烈的渴望，而且渐渐感觉到，仅通过试验 ，单凭经验和直观所得的结论，其实并不 可靠，往往与实际情况相差较大。为此人 们努力寻找新的出路，这样就导致了初等 几何的第三个阶段论证几何的产生。数学史上论证几何
12、首先主要出现在两个地 方，一是希腊，二是中国。*衡阳师范学院数学系*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学泰勒斯(约公元前625-前547年) 爱奥尼亚学派(米利都学派)创数学命题逻辑证明之先河泰勒斯定理 圆的直径将圆分为两个相等的部分. 等腰三角形两底角相等. 两相交直线形成的对顶角相等. 如果一个三角形有两角、一边分别 与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等. 半圆上的圆周角是直角.哲学：万物源于水*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学毕达哥拉斯(约公元前560-前480年) 毕达哥拉斯学派万物皆为数抽象对象*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学毕达哥拉斯定理（希腊，195
13、5） 毕达哥拉斯学派完全数亲和数不可公度量*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学毕达哥拉斯学派(5-1)/2 0.618*衡阳师范学院数学系帕提农神庙(前447前432年） 雅典时期：开创演绎数学古典时期的希腊数学*衡阳师范学院数学系帕提农神庙(前447前432年） 古典时期的希腊数学*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学掷铁饼者(米隆, 约前450年)*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学伊利亚学派芝诺(约公元前490-前430年) 芝诺悖论：运动不存在位移事物在达到目的地 之前必须先抵达一半处， 即不可能在有限的时间内 通过无限多个点。 *衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学芝诺悖论: 阿
14、基里斯伊利亚学派*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学伊利亚学派芝诺悖论: 飞矢不动名家主要是辩论哲学概念，但庄子中 记载他们的多条名辩可以从数学的意义上 去理解，其中最有名的如： 矩不方，规不可以为圆； 飞鸟之影未尝动也； 箭矢之疾，而有不行不止之时； 一尺之捶日取其半，万世不竭.等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相 呼应*衡阳师范学院数学系*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学诡辩学派(智人学派)三等 分任 意角古典几何三大作图问题化圆为方倍立方*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学安蒂丰(约公元前480前411年)的穷竭法诡辩学派(智人学派)林德曼（德，18521939年）*衡阳师范学院
15、数学系古典时期的希腊数学柏拉图(约公元前427-前347年) 柏拉图学派打开宇宙之迷的钥匙是 数与几何图形公理化演绎体系的倡导者*衡阳师范学院数学系古典时期的希腊数学雅典学院(公元前387公元529年)柏拉图学派雅典学院简介雅典学院（作者：拉斐尔）是一幅古希腊哲学家、科学家和其他各种人物的群像。在这幅构图宏伟的作品中，杰出的拉斐尔把希腊、罗马、斯巴达以及意大利的著名哲学家和思 想家聚于一堂,巧妙地组织在宏伟的三层拱门大厅内。上层的人物以古希腊哲学家柏拉图（左）及其弟子亚里士多德（右）为中心。一个以指头指着 上天，一个则伸着右指指着他前面的世界，以此表示着他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和
16、亚里士多德的唯物主义。以他二人为中心，激动人心的辩论场面向两翼和前景展开，构成了宽广的 空间。在这两个中心人物的两侧有许多重要历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是希腊马其顿王 亚里山大，穿绿袍转身向左扳手指的是唯心主义哲学家苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老 人是古希腊犬儒学派哲学家狄奥吉尼。下一层的人物分为左右两组，其中有著名历史人物，也有当时的现实人物：左边一组中，站着伸头向左看的老者是著名的阿拉伯学者阿维洛依，在他左前方蹲着看书的秃 顶老人是古希腊著名哲学家毕达哥拉斯，在他身后的白衣少年是当时教皇的侄子、有名的艺术爱好 者乌尔宾诺公爵。右边一组的主要人物是古希腊著名科学家阿基米德，他正弯腰和四个青年演算几何题。右边尽 头手持天体模型者是天文学家托勒密，以
