菲涅耳公式折反射定律

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1、Chapter 1 理论基础1.1 介质中的 Maxwell s equations及物质方程微分形式=t=J+ t=0BEDHDB（ 1-1）传导电流密度J的单位为安培 /米2(A/m2)，自由电荷密度的单位为库仑/米2(C/m2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）00=()J=DEEPBHHME（1-2）麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此， 所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。1.2

2、 积分形式及边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E、D、B、H发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。积分形式0LSLSSSdE dlB dSdt dH dlID dS dtD dSQB dS （1-3）得边界条件为21212121()0()()()0nEEnHHnDDnBB（1-4）式（ 1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见光学电磁理论P20） ：（1）电场强度矢量E的切向分量连续，n为界面的法向分量。（2）为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，=0

3、，此时H的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。（3）为界面上的自由电荷面密度。（4）磁感应强度矢量B的法向分量在界面上连续。Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播2.1 反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为入射波0exp ()iiiiEEitk r反射波0exp ()rrrrEEitkr折射波0exp ()ttttEEitk r界面两侧的总电场为：10020exp ()exp ()exp ()iriiirrrttttEEEE

4、itkrEitkrEEEitkr由电场的边界条件21()0nEE，有000exp ()exp ()exp ()iiirrrtttnEitkrnEitkrnEitkr欲使上式对任意的时间t 和界面上r均成立，则必然有：irt（ 1-5）irtkrkrkr（1-6）可见，时间频率 是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。()0()0ritikkrkkr（1-7）由于r可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量()rikk和()tikk均与界面的法线n平行，由此可以推知，ik、rk、tk与n共面，该平面称为入射面 。由此可得出结论： 反射波和折射波均在入射面内。上

5、式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得cos()cos()cos()222iirrttkkk（1-8）又由于1/iknc，1/rknc，2/tknc，得12()sinsiniritnn反射角等于入射角（折射定律）（ 1-9）2.2 菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向 之间的关系。 而反射波、 折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。电场E是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为 s分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为 p分量。首先 研究入射波仅含s分量和仅含p分

6、量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场； 然后 根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。（1）单独存在s 分量的情形首先规定 ：电场和磁场的s 分量垂直于纸面，向外为正，向内为负。在界面上电场切向分量连续：21()0nEE另外由式（ 1-5） 、 （1-6） ，可得000isrstsEEE（2-1）在界面上磁场的切向分量连续：21()0nHH注意1HkE，如图所示。所以同理有000coscoscosipirprtptHHH（2-2）非磁性各向同性介质中E、H的数值之间的关系：00BnHEcEH那么式（ 2-1）整理为101020coscosco

7、sisirsrtstn En En E（2-3）联立式（ 2-1） （2-3）可得012012coscoscoscosrsit sisitEnnr Enn010122coscoscostsi sisitEntEnn（2）单独存在p 分量的情形首先 规定 ：p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。根据E、H的边界条件得：000isrstsHHH000coscoscosipirprtptEEE再利用E、H的数值关系以及正交性，得到021021coscoscoscosrpit p ipitEnnr Enn010212coscoscostpi pipitEntEnn综上所述， S波及 P

8、波的反射系数和透射系数的表达式为：0120120210210101201021coscoscoscoscoscoscoscos2coscoscos2coscoscosrsit sisitrpit p ipittsi sisittpi p ipitEnnrEnnEnnrEnnEntEnnEntEnnsin() sin()tan() tan()2cossinsin()2cossin sin()cos()it sitit pitit s itit pititrrtt上面左边的式子就是著名的Fresnel公式。 利用折射定律，Fresnel 公式还可以写成右边的形式。2.3 反射波和透射波的性质2.3

9、.1 n1n2 的情况这种情形即由 光密媒质 入射到 光疏媒质 的情形。由折射定律可知，ti把90t所对应的入射角称为全反射临界角，用c表示。即21sincn n。因此分ic和ic两种情况来讨论。（1）当ic时此时90t，可以直接用Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1n2还是 n1n2的情形，布儒斯特定律都成立。ts和 tp均大于 1，且随着i的增大而增大， 但是这不意味着透射率T 大于 1 以及 T必然随i的增大而增大。221cos|cost ss inTtn221cos|cost pp inTtn（2）当ic时因为全反射临界角满足21sincnn。由该式可见， 当

10、ic时，会出现21sininn的现象，这显然是不合理的。此时折射定律12sinsinitnn不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式12sinsintinn。由于t在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而i始终是实参量，为此应将cost写成如下的虚数形式：22212cos1sinsin1(sin)1tttiniin有关2cos取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。 将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数2222cossin|exp() cossinii ssrsiiinrri in222222cossin|exp() cossinii s

11、prpiininrri nin并且有| | 1sprr22 p2sintantan22cosrirsinn式中，21/nnn，是二介质的相对折射率；|sr、|pr为反射光与入射光的s 分量、 p 分量光场振幅大小之比。rs、rp为全反射时，反射光中的s 分量、 p 分量光场相对入射光的相位变化。 由上式可见， 发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：22p2cossin2arctansinii rsr in因此，在 n 一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。当光由光密介质射向光疏介质，并

12、在界面上发生全反射时，投射光强为零。 这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？当把 ts、tp的 Fresnel 公式推广到复数域进行计算，将会发现ts、tp都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波。 在发生全反射时， 光波场将透入到第二个介质很薄的一层（约为光波波长）范围内，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy 平面，入射面为xOz平面，则在一般情况下可将透射波场表示为00exp()exp(sincos)ttttttttttEEitk rEitk xk z上式可改写为21 0 2exp(sin(sin)1)ttttttinEEitk xik z n211 022exp(sin)1exp(s

13、in)tttittinnEEk zitk xnn这是一个沿着z 方向振幅衰减，沿着界面x 方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有cost取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上存在的倏逝波。倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面 处传播， 不进入第二媒质内部。因而全反射时 Rs=1、ts0 和 Rp=1、tp0 并不违反能量守恒定律。具体性质参看物理光学与应用光学P38 2.4 Stocks 倒逆关系Stokes reversible relation可以导出不同介质两

14、侧折射系数、反射系数的关系。如上左图所示，假设入射光束的振幅为A，相应反射光束与折射光束为Ar，At。再设一束振幅为 Ar 的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar）相应反射和折射分别是Arr、 Art；再设一束振幅为t 的光束逆向传播（上右图中橙色光束At） ，相应反射和折射分别为At r、At t。由于最初的反射光行波和折射光行波r、t 正逆抵消。 则另外第二、 第三象限的光束也抵消，得到斯托克斯倒逆关系，即：AA0rrAttArtAtr（第二象限）（第三象限）整理后，得210rttrrr、t 为从 n1 介质到 n2 介质入射时的反射和折射系数；r、t为从 n2 到 n1 介质入射时的反射和折射系数。