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1、1人教版九年级数学上册知识点总结人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章第二十一章 二次根式二次根式21.1 二次根式二次根式知识点一知识点一 二次根式的概念二次根式的概念(1)一般地一般地,我们把形如我们把形如(a0)的式子叫做二次根式。二次根式的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数的实质是一个非负数 a 的算术平方根。其中的算术平方根。其中“”叫做二次叫做二次aa根号。根号。(2)(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“” 。如。如是二次根式，虽然是
2、二次根式，虽然=2=2，但，但 2 2 不是二次根式。不是二次根式。44被开方数被开方数 a a 必须是非负数，即必须是非负数，即 a0.a0.如如就不是二次根式，但式子就不是二次根式，但式子2 2是二次根式。是二次根式。3)3(“”的根指数为的根指数为 2 2，即，即“” ，一般省略根指数，一般省略根指数 2 2，写作，写作“” ，注意，不可误认为根指数是，注意，不可误认为根指数是“1”“1”或或“0”“0” 。2提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。知识
3、点二知识点二 二次根式的性质二次根式的性质（1 1）（a0a0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即（a0a0） ，我们把这个性质叫做二，我们把这个性质叫做二aa次根式的非负性。次根式的非负性。（2 2） （）2 2 = = a a （a0a0） ，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把a一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。一个非负数写成完整平方数
4、的形式，常用于多项式的因式分解。（3 3）2 2 = = a a (a0)(a0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，a就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。知识点三知识点三 代数式代数式定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和
5、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。21.221.2 二次根式的乘除二次根式的乘除知识点一知识点一 二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则一般地，对二次根式的乘法规定：一般地，对二次根式的乘法规定：= =(a0,b0)(a0,b0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。abab知识点二知识点二 积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质= =（a0a0，b0b0） ，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。abab知识点三知识点三 二次根式的除法法则二次根式的除法法则一般
6、地，对二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：= =（a0a0，b b0 0） ，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。ba ba知识点四知识点四 商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质= =（a0,ba0,b0 0） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。baba2知识点五知识点五 最简二次根式最简二次根式必须满足以下两个条件：必须满足以下两个条件：（1 1）被开方数不含分母；被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。被
7、开方数中不含能开得尽方的因数或因式。21.321.3 二次根式的加减二次根式的加减知识点一知识点一 二次根式的加减二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。知识点二知识点二 二次根式的混合运算二次根式的混合运算（1 1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘
8、方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。（2 2）在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。22.122.1 一元二次方程一元二次方程知识点一知识点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是 2 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：注意一下几点：只含有一个未
9、知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是未知数的最高次数是 2 2；是整式方程。是整式方程。知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一般形式：一般形式：axax2 2 + + bxbx + + c c = = 0(a0(a 0)0). .其中，其中，axax2 2是二次项，是二次项，a a 是二次项系数；是二次项系数；bxbx 是一次项，是一次项，b b 是一次项系数；是一次项系数；c c 是常数项。是常数项。 知识点三知识点三 一元二次方程的根一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程
10、中验根的使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。依据。22.222.2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程22.2.122.2.1 配方法配方法知识点一知识点一 直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程（1 1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x x2 2=a(a0)=a(a0)的方的方程，根据平方根的定义可解得程，根据平方根的定义可解得 x
11、x1 1= =,x,x2 2= =. .aa（2 2）直接开平方法适用于解形如直接开平方法适用于解形如 x x2 2=p=p 或或(mx+a)(mx+a)2 2=p(m0)=p(m0)形式的方程，如果形式的方程，如果 p0p0，就可以利用直接开平方法。，就可以利用直接开平方法。（3 3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。负数没有平方根。（4 4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：直接开平方
12、法解一元二次方程的步骤是：移项；移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1 1；两边直接开平两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二知识点二 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法
13、的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1 1）把常数项移到等号的右边；把常数项移到等号的右边； 方程两边都除以二次项系数；方程两边都除以二次项系数；3 3方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.222.2.2 公式法公式法知识点一知识点一 公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程（1 1）一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程axax2 2+bx+
14、c=0(a+bx+c=0(a00) )，如果如果 b b2 2-4ac0-4ac0，那么方程的两个根为，那么方程的两个根为 x=x=，这个，这个aacbb2423公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,ca,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。的方法叫做公式法。（2 2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 axax2 2+bx+
15、c=0(a0)+bx+c=0(a0)的过程。的过程。（3 3）公式法解一元二次方程的具体步骤：公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：方程化为一般形式：axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)，一般，一般 a a 化为正值化为正值 确定公式中确定公式中 a,b,ca,b,c 的值，注意符号；的值，注意符号；求出求出 b b2 2-4ac-4ac 的值；的值； 若若 b b2 2-4ac0-4ac0，则把，则把 a,b,ca,b,c 和和 b-4acb-4ac 的值代入公式即可求解，若的值代入公式即可求解，若 b b2 2-4ac-4ac0 0，则方程无实数根。，则方程无实数根。知识点二知识点二 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式式子式子 b b2 2-4ac-4ac 叫做方程叫做方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母根的判别式，通常用希腊字母表示它，即表示它，即=b=b2 2-4ac.-4ac.0 0，方程，方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根一元二次方程一元二次方程 =0=0
