《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第24章《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第24章《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 24 章章 抽屉原理和容斥原理抽屉原理和容斥原理24.1 抽屉原理抽屉原理24.1.1在任意的 61 个人中，至少有 6 个人的属相相同解析因为一共有 12 种属相，把它看作 12 个抽屉，根据抽屉原理61151612 知，至少有 6 个人的属相相同 评注抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理这一简单的思维方式在解题过程中却可 以有很多颇具匠心的运用抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现许多 有关存在性的证明都可用它来解决 抽屉原理 1 如果把件东西任意放入个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东1n n 西 抽屉原理 2如果把件东西任意放人个
2、抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，mn 这里,1,mmnnkmmnn 不不不不不不不当数时; 当数时.其中表示不超过的最大整数 ，例如，等等 xx 334.942.63 24.1.2从 2，4，6，30 这 15 个偶数中任取 9 个数，证明：其中一定有两个数之和是 34 解析把 2，4，6，30 这 15 个数分成如下 8 组（8 个抽屉） ； （2） （4，30） ， （6，28） ， （8，26） ， （10，24） ， （12，22） ， （14，20） ， （16，18） 从 2，4，6，30 这 15 个数中任取 9 个数，即是从上面 8 组数中取出 9 个数抽屉原理 知，
3、其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是 3424.1.3在 1，2，3， ，100 这 100 个正整数中任取 11 个数，证明其中一定有两个数的比值不超过；3 2，2，3，4，5，6，7，8，9，10，111，12，16，17，18，25， 26，27，39，40，41，60 61，62，91，92，93，100 从 1，2，100 中任取 11 个数，即是从上面 10 组中任取 11 个数，由抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过3 224.1.4求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被 3 整除 解析任何数除以 3 所得余数只能是 0、1、2，分
4、别构造 3 个抽屉：0、1、 2 （1）若这五个自然数除以 3 后所得余数分别分布在这 3 个抽屉中，从这三个抽屉中各 取 1 个，其和必能被 3 整除 （2）若这 5 个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽屉必包含有个余数，而这三个余数之和或为 0，或为 3，或为 6，故5132 所对应的 3 个整数之和是 3 的倍数 （3）若这 5 个余数都能分布在其中的一个抽屉中，易2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2知必有 3 个整数之和能被 3 整除24.1.5从 1，2，3，20 中，至少任取多少个数，才能使得其中一定有两个数，大的 数是小的数的倍数 解析从 1，2，20 中取
5、11，12，20 这 10 个数，其中没有一个数是另一个数的倍数把 1，2，20 分成如下 10 组：1，2，3，2 122132142123 ，5，7，11，13，13，15，17，2232522527929 19，从中任取 11 个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的倍数 所以，至少任取 11 个数才能满足题意24.1.6在不超过 100 的正整数中任取 55 个不同的数，在这 55 个数中： （1）是否一定有两个数的差等于 11？ （2）是否一定有两个数的差等于 9？ 解析（1）不一定，例如，这 55 个数中，11123 3345 5567 7789 99 任意两数的差都不等于
6、11 （2）一定把 1，2，100 分成如下 54 组： 1，10，2，11，9，18，19，28，81，90，91，100，92，93， ，99 从中任取 55 个数，一定有两个数取自同一组，它们的差等于 924.1.7证明：在任意的 52 个正整数中，一定可以找到两个数、，使得或abab 能被 100 整除ab 解析把这 52 个正整数都除以 100，考虑 52 个余数，若其中有两个相同，则它们的差 能被 10 整除，若其中任意两个都不相同，则它们的差能被 100 整除，若其中任意两个都不 相同，把 0，1，99 分成如下 51 组： 1，99，2，98，49，51，0，50 从中任取 5
7、2 个数，车琮有两数（的余数）取自同一给，这两数的和或差能被 100 整除24.1.8某学校的初三年组的同学要从 8 名候选人中投票选举三好学生，规定每人必须从 这 8 名候选人中任意选两名，那么至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于 5 名同学 投了相同的两个候选人的票？ 解析从 8 个人中任意选 2 人，不同的选法共有 （种） ，87228 即有 28 个抽屉由抽屉原理，当投票的人不少于人28511113 时，就能保证必有不少于 5 名同学投了相同两个候选人的票 而当 112 个人投票时，不一定有不少于 5 名同学投了相同两个候选人的票 所以，到少有 113 人投票时，能保证必有不少于
8、5 名同学投了相同两个候选人的票24.1.9在 1，11，111，中，是否有 2007 的倍数？ 1111n个解析答案是肯定的 考虑以下 2007 个数：1，11，111， 20071111个若它们都不是 2007 的倍数，则它们除以 2007 所得的余数中一定有两个是相同的，不妨设为和，于是 1111a个 1111b个12007ab2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3， 112007111 111ba个个 12007111 10ab a个而（2007，）=1，所以，这与 1，11，111，都不是 2007 的倍10a 12007111b a个 20071111个数矛盾所以，在 1，11，1
9、11，中，一定有 2007 的倍数 1111n个24.1.10从任意给定的 1999 个自然数中总可以找到个数，使得它们的和能被 1999 整k 除解析设 1999 个自然数为，且构造下列 2000 个和：1a2a1999a0，1a12aa123aaa1231999aaaa因为任意一个自然数被 1999 除后，所得的余数可能是 0，1，2，1998，共 1999 种所以可将上述 2000 个和按照被 1999 除后所得不同的余数分成 1999 个集合由抽屉原理可知，至少有两 个和，不妨 设为，123aaa，12staaaa11999st它们属于同一个集合，即它们分别被 1999 除后所得的余数
10、相同，那么它们的差12sstaaa能被 1999 整除从而本题得证24.1.11把圆周分成 12 段，将 l，2，3，11，12 这 12 个数任意写在每一段内，使 每一段恰好有一个数字证明：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是 20解析如果记第 1 小段内填写的数是，第 2 小段内填写的数是第 12 小段内填1a2a写的数是，12a那么三个相邻小段填写的数字和可以有，123aaa234aaa345aaa，456aaa567aaa678aaa2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4，789aaa8910aaa91011aaa，101112aaa11121aaa1212aaa这 12 种，并且
11、12 种情况中出现的所有数字和为12111233 1211 12aaaa234 由抽屉原理可知，至少有某个相邻的三段，它们的数字和至少是23412012 值得注意：本题中的三个相邻小段也可分成，123aaa456aaa789aaa这 4 种情况，这时它们的数字和为101112aaa1211121211 1278aaaa 由抽屉原理可知，至少有某个相邻的三段，它们的数字和至少是781204 24.1.12在个连续自然数 1，2，3，中，任取出个数证明：在这2n2n1n 个数中，一定有两个数，其中一个是另一个的倍数1n 解析将这个连续自然数分成集合：2nn1，1A 1 221 231 241 25
12、1 261 23，2A 322323324325325，3A 52252352452AnA 21n 由此可见，这个数没有遗漏地被放在个集合中，并且同一个数决不会出现在两个不同2nn 的集合中因此，根据抽屉原理可知，不论用何种方式从中取出个数时，必定有至少1n 两个数是出自同一个集合的，而同一个集合的两个数，大数必定是小数的倍数24.1.13从 1，2，这个正整数中任取个数，证明其中一定存在两个数是2n2n1n 互质的 解析把 1，2，这个焉整数分成如下组：2n2nn 1，2，3，4，21n 2n 从这组中任取个数，由抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，同一组中的两n1n 个数是相邻的正整数
13、，从而它们是互质的24.1.14把 1，2，10 按任意次序排成一个圆圈 (1)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于 18； (2)证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于 152018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5解析 (1)设这 10 个数在圆周上排列为 1，如图（a） 由于1a2a9a， 123456789231054aaaaaaaaa所以、这三个数中一定有一个数不小于123aaa456aaa789aaa54183b1b2b3b4b5b6b7b8b9a9a8a7a6 a5a4a3a2a1(b)(a)101（2）设这 10 个数在圆周上排列为，如图（b） 由于101b2b9
14、b， 12345678912945bbbbbbbbb 所以，、这三个数中一定有一个数不大于123bbb456bbb789bbb4515324.1.15在边长为 1 的正三角形中，任取 7 个点，其中任意三点不共线证明：其中必有三点构成的三角形的面积不超过3 12 解析如图所示，将正三角形的中心与三个顶点连起来把正三角形分成三个小三角形(3个抽屉)由抽屉原理知，必定有一个小三角形的内部或边界上至少有个点这7133 三个点构成的三角形面积不超过该小三角形的面积，即不超过133 341224.1.16在的长方形中，任意放置 6 个点，证明：一定可以找到两个点，它们的距34离不大于5解析我们要设法把的长方形分成 5 个部分(5 个抽屉)，而且每部分中任意两点的34距离不大于52018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6211211211122如图所示，把的矩形分成 5 个部分由勾股定理可以算得每个部分的任两点之间的距34 离不大于从而命题得证524.1.17求证：在任何凸边形中，总有一条对角
