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1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 27 章章 极端原理极端原理27.1.1* 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面 上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚使得对方无法按照规则再放，谁就获胜问：是先放合算 还是后放合算？ 解析解析 本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币这时当然是先放的人合算 一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆 心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬 币的人一定是先放的人，从而他必能获胜 评注评注 本题解法的独到之处在于考虑最
2、极端的情况， “桌面最小” 这里的极端原理实际是一种“从特 殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时， 我们要利用如下的事实： 1有限个数中一定有最大数和最小数； 2无限个正整数中有最小数； 3无限个实数不一定有最大数或最小数 27.1.2* 在一次乒乓球循环赛中，（3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名nn 选手、，使得胜，胜，胜ABCABBCCA 解析解析 没取胜场数最多的一名选手为，由于没有一个选手是全胜的，所以在这名选手中存在一名An 选手，胜CCA 考虑击败的选手的全体，其中必有选手胜事实上，若的手下败将也都负于，那么胜AB
3、CACC 的场数比胜的场数至少要多 1，这与是获胜场数最多的选手矛盾AA 所以，存在三名选手、，使得胜，胜，胜ABCABBCCA 27.1.3* 平面上已给 997 个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有 1991 个红点，能 否找到恰有 1991 个红点的点解析解析 997 个点中每两点都有一个距离，因而共有个距离（其中有可能有些距离是相等的） ，997996 2其中一定有一个最大距离设是最大的距离AB分别以、为圆心，为半径作圆，如图所示点与除点之外的 995 个点的连线的中点在AB1 2ABAB圆的内部或边界上；点与除点外的 995 个点的连线的中点在圆的内部或边界上，这样我们
4、得到ABB 了 995+9951990 个红点 另外，的中点是不同于上述 1990 个红点的，所以，至少有 1991 个红点ABAB下面构造一个例子，说明恰好有 1991 个红点，设 997 个点在数轴上 1，2，3，997 的位置这时中点为：，故红点恰有 1991 个3 24 25 21992 21993 227.1.4* 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角 形 解析解析 如图所示，在凸五边形中，一共有 5 条对角线：、，所以ABCDEACADBDBECE2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2其中一定有一条是最长的，不妨设最长ACABEPCD由于是
5、凸四边形，设与的交点为，则ACDEADCEP ACAPPCADCE 因为最长，所以，、这三条对角线可以作为一个三角形的三条边ACACADCE 27.1.5* 平面上给定 3 个点。已知其中任意两点的距离不超过 1，证明：这 3 个点被一个半径为等的 圆覆盖 解析解析 设三点为、，不妨设，当时易知以删为直径的圆可覆盖ABCBCABACA90（此圆半径2）个点，它们两两连线都有一个中点，如果重合的中点算一个点，求证：n 至少有个不同的中点23n 解析解析 不妨设个点为，且、为最远两点，记中点为n1A2AnA1nAnA1inA A（1，2，） ，中点为（1，2，） iBi 2n inA AiBi 2
6、n 不存在一个 与，使，否则当不在线段上时，作平行四边形，不妨设ijijBBiB1nnAA1nnijAA A A，于是，这与定义矛盾190innA A A11ninnAAAA1nnAA2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义9AiAjAnAn-1Bi当在亦然iB1nnAA于是全部与一共有个中点，加上中点，至少有个不同中点，读者不难构iBjB24n 1nnAA23n 造出达到此界的例子27.1.23* 设正整数、满足，求证：abk221abkab5k 解析解析 对每一个，如果有这样的、存在，可设最小，且时，kabababab2221ka无解，故关于的方程有另一根，由两根和知为整数，由两根积知aba2
7、20abkabkaa为正数，故为正整数，于是，或aaaa，即22aaabk 2222121kabaaa当时，或 3，1b 212111akaaa 2a 5k 当时，故或，不可2b222222121441aabk abaaa22410aa 2211a 能 综上所述，5k 27.1.24* 已知正整数与使得整除，求证：是某个正整数的平方ab1ab 22ab221ab ab 解析解析 用反证法假设并不是某个正整数的平方令221ab ab ，221abkab220abkabk 所以， （，）是方程ab220xykxyk的一组正整数解设（，）是方程的所有正整数解中，使为最小的一组解，由对称性不妨设1a1bxy11ab把改写成关于的二次方程，得x22 110xkb xbk于是就是的一个正整数解由韦达定理知的另一个解1a211akba2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义10也是整数，由知（因为不是平方数） ，若，则2 211a abk20a k20a ，22 2121120akbabkkbakkk 矛盾故02a于是（，）也是方程的一组正整数解但是由2a1b，2222 1111 21 111111bkbaaaaaaaa得2111abab这与为最小相矛盾因此愚为某个正整数的平方11ab
