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1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 30 章章 组合几何组合几何30.1 覆盖、划分与构造覆盖、划分与构造 30.1.1* 求证：可以把三角形划分成三块，拼成一个矩形 解析解析 如图，不妨设为之最大边，故，设、中点分别为、，BCABCB90CABACMN作，易知、在上今过作，分别与直线、交于、MSBCNTBCSTBCAPQBCSMTNP，于是易见，因此被分成三块，拼成了矩形QPMABMSCNTAQNABCPSTQPAQMNBSTC30.1.2* 任何不等边三角形都可以被两个较小与之相似的三角形覆盖解析解析 如图，不妨设，且最大ABC111ABC222A B CABCPCA2AA1BB1
2、C2B1C1注意这里是预先给定的，而与都是构造的ABC111ABC222A B C不妨设，如图，又让（与重合，与重合） ，、分ACAB1ACABAB12BB B2BA1A2AG别在、上，ABCB22A CAC于是只要设与交于，在上，即能保证与均比小11C BCBP2CCP111ABC222A B CABC30.1.3* 求证：同时平分一个三角形面积和周长的直线必通过该三角形的内心，对于任意圆外切多 边形，是否有类似论断？解析解析 对于任意圆外切多边形都成立如图，设平分线交外切凸多边形于点、，分成两段与，AB1l2l圆心为，半径为，由，得，即过圆心Or1211 22l rl r0AOBSAB20
3、18 年初中数学竞赛辅导专题讲义2ABO30.1.4* 已知坐标平面上有一个，顶点坐标分别为（，） 、 （，） 、 （，） ，则有ABC1x1y2x2y3x3y定理，以此证明：格点三角形的面积；对于任何大12233112233 11 2ABCSx yx yx yy xy xy x1 2的正数，是否都存在三边长均大于且面积为的格点三角形？kk1 2解析解析 面积公式可用外接矩形推导又设中，点为原点（0，0） ，、为格点（，） 、ABCABCxy（，） ，则由面积公式知xy，11 22ABCSxyx y下研究不定方程比如方便地，令（，）（，） ， （，）（，1xyx yxyn1n xy21n ）
4、，只要是充分大的正整数，、都充分大23n nABACBC 30.1.5* 证明：凸多边形不能划分成有限个非凸四边形解析解析 假设凸多边形能分割成非凸四边形，多边形中小于的内角和与另外的角M1MnMN180之和的差用数来表示，另外的角是指中大于的角关于的补角比较数和 f NN18060 Af M，为此研究四边形，的所有顶点，这些顶点能够分成 4 种类型：1nBf Mf M1MnM（1）多边形的顶点这些点给予和同样的值MAB（2）在多边形或四边形边上的点每个这样的点给予的值比给予的值大M1MBA180（3）多边形的内点在这点引出四边形的小于的角，每个这样的点给予的值比给予的值M180BA 大360
5、 （4）多边形的内点，在此点引出四边形的一个大于的角，这样的点给予和的值为零M180AB 总之，得到另一方面，而不等式是显然的，而对于等式的证明，AB0A 0B 0A 0B 可以验证：如果是非凸四边形，则设的角，任意的非凸四边形相当于N 0F N N有一个角大于，因此矛盾，因此不可能180 3603600f N 把凸多边形分割成有限个非凸四边形30.1.6* 求证：对任意有界凸形，存在两个矩形、，与相似，面积分别为、FJJJJ S J，覆盖，包含， S JJFFJ 9S JS J解析解析 如图，设的直径（即中最远两点之距离）为，则过点、与垂直的直线、FFMNMNMNPQ2018 年初中数学竞赛
6、辅导专题讲义3是的左、右支撑线（即碰到边界不穿过其内部的直线） 作的上、下支撑线、，使RSFFFPSQR，即四边形为矩形，就是包含的设点、是与、的公共点，PSQRMNPQRSFJABFPSQR于是四边形在凸形之中不妨设点在点“左”侧，设，则AMBNFABQRdASaQBb，又在上取一点，使，又设、adbdabd MNObdMOabadNOabOPOQ、分别与、交于点、，如图所示，可以证明面，OROSAMBMBNANPQRS1 3OP OP，及，于是可以在线段、上分别找四点、1 3OS OS1 3OQ OQ1 3OR OROPOQOROSP、，满足，易知矩形在中，且与矩形相似，QRS1 3OPO
7、SOQOR OPOSOQORP Q R S FPQRS面积为，这就是我们要找的由对称性，只需证与即可即 9S JJ1 2OP PP1 2OS SS1 2OS SS或，由于，故显然成立至于即，此即2ONAS2adab a2abd1 2OP PP2MOPA，移项化为求证由及知显然成立，证 2bdabda b adda abdaada毕PAaSMNQbBRQRS PO30.1.7* 平面上有（3）个半径为 1 的圆，且任意 3 个圆中至少有两个圆有交点，证明：这些n 圆覆盖平面的总面积小于 333解析解析 不妨记这个圆心分别为点，且距离最远现过点、分别作的n1A2AnA12A A1A2A12A A垂
8、线与，则点，均在与之间的带形区域内1l2l3A4AnA1l2l现以点为圆心、2 为半径在的（含的）一侧作半圆，与交于点、，则该半圆包含了全体1A1l2l1lEF与点的距离不超过 2 的圆心同样若以点为圆心、3 为半径作半圆，与交于点、，再向左1A1A1lBC作矩形，使，最后添上两个四分之一圆，得一凸形，如图（）所示，易知此MEFN1ME BMNCBa凸形包含了所有圆心与点的距离不大于 2 的圆，该凸形的面积为1A2 1324 15424S 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4FNCMEBl1l2A2A1PAFxBCDQEy(a)(b)易知，剩下的所有圆心两两距离必2（否则若，又，、与，2ij
9、A A 12iA A 12jA A 1AAiAAjAA两两相离，与题设矛盾） ，于是可以找到三对平行线（，） ，满A FC D A BD E E FB C 足凸六边形内角均为，且三对平行线之间距离均为 2，并使剩下的所有圆心均在此A B C D E F 120 六边形内，如图（）所示b今补出菱形，知六边形的周长为 4F PC QA B C D E F 3现设，易知，故A Bx D Ey 433xyA B C D E FPC QFA B PE D QSSSS 2283334xy28332 338xy让一半径为 1 的动圆圆心在六边形周边上跑一圈，设其外端形成的凸形面积为，易知剩下的圆全在2S此凸
10、形中，且，24 3 16 3A B C D E FSS 于是覆盖总面积12646 333.3SS30.1.8* 求证：从任何面积为的等腰三角形中，都可以割出 3 个互不相交的全等三角形，每个面S积均超过4S解析解析 不妨设当时，如图（） ，找到的内心，在上取一点，ABAC60BACaABCIBCP 使，于是、与即为所求，这是由于，得，BPABAIBAICBIPABACBCPCBPIPCBIPAIBABCSSSS当时，如图（） ，在上取点、，使，又在、60BACbBCMNBAMMANNAC AB 上分别取点、，使，于是、即为所求这是ACKLAKAMANALAKMAMNANL由于，故，于是，3co
11、s22BACAMABAB31125BKABAKABAB1 4BK AK44BKMLCNAKMAMNANLSSSSS2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5ABPClAKBMNCL(a)(b)30.1.9* 平面上有若干个圆，它们覆盖平面的面积是 1，证明：可以从中选出若干个两两不相交的圆，使它们的面积之和不小于1 9解析解析 首先，从这些圆中选出半径最大的圆，并考察半径为其 3 倍的同心圆，从中可剔除所有在这个 同心圆里面的圆，于是剩下的圆与原来的最大圆没有交点再在剩下的圆中找出最大的圆，重复上述 过程由于圆的总数有限，这一过程总会终止这时，每个半径胀大 3 倍的圆覆盖了原先所有的圆， 它们的面
12、积之和不小于 1，而这些“胀大圆”对应的原先的同心圆，便是满足条件的两两不相交、且面积之和不小于1 930.1.10* 在面积为 5 的区域中，放置着 9 个面积为 1 的矩形，证明：其中必有两个矩形的重叠部分面积不小于1 9解析解析 假设结论不成立给矩形编号，l 号矩形覆盖的面积是 1，当 2 号矩形盖上去后，被覆盖面积增加的尽管不是 1，但大于；类似地，当 3 号矩形盖上去后，又增加了大于的面积最后，被8 97 99 个矩形盖住的总面积超过了，矛盾8711599930.1.11* 在单位正方形内放置一个图形，使它任意两点的距离不等于 0.001，求证：该图形的面积 不超过 0.288 解析
13、解析 设正方形为，图形记为，面积为易知沿任何方向上平移 0.001 的距离得到新的ABCDFSF 图形与无公共点F如图，作一个菱形，其中与均为边长是 0.001 的正三角形，且在上；132AA A A12AA A123A A A1AAD又将此菱形绕逆时针旋转一个角度（略大于） ，使得到的新的菱形满足A30546AA A A340.001A A BDAA1A2A4A6A3 A5不妨设沿方向得到的图形为，同理沿方向，得到的图形为，F1AA1FF2AA 3AA 6AA 2F2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6，3F6F对任一图形，记其面积为为方便起见，下面用集合中的一些常用记号（并、交与空集） K
14、 S K由于沿方向得到的图形与无公共点，故F34A A F，34FF 因此，34FFFF 于是 34S FFS FFS FS不妨设，于是41 2S FFS，43 2S FFS又，546FFFF，645FFFF，56FF 故4567 2S FFFFS又因为等在、方向上的投影均小于万，故一个边长为的正方形可4AAABAD0.001310.0023以将、均覆盖，于是F4F5F6F，2710.00232S由此得0.288S 30.1.12* 一有界凸形被直线 分成面积相等的两部分，直线，被 分成的两部分在上Flll Fll的射影分别为与，求证：1d2d122121d d解析解析 如图，设两段投影分别是、，点是凸形的支撑点，平分凸形的 与分别交于点ABBCCFlF、，延长、，分别交支撑线于点、于是有，即BBC B C B AAA A B BB B C
