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1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第 16 章几何变换16.1 对称和平移 1611设是边长为 2 的正三角形的边的中点是边上的任意一点，MABCABPBC 求的最小值PAPMCAMPAMB解析 作正三角形关于的对称图形是的对称点，故是的中ABCBCA BCMMMA B 点，如图所示，则PMPM .PAPMPAPMAM连结，易知，所以CM90ACM22437AMACCM所以，的最小值是PAPM71612已知中，试在的边、上分别找出一点、ABC60A ABCABACP ，使最小QBQQPPC解析 作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分BACBCABCB C ABAC别交于点、，则、即
2、为所求，如图所示PQPQCAMPAMB事实上，对于、上的任意点，ABACPQBQQ PP CB QQ PP C B CB QQPPC BQQPPC评注 因为，所以所作线段必与线段、相交60A B C ABAC 1613求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍解析 如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三ABCCDPQR角形2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2BDPARCQSVETG FU将以为对称轴反射为，此时反射为，再将RtABCBCRtBCEPQRSQV以为对称轴反射为，此时反射为延长交RtBCECERtFCESQVTUVDC于EFG 易知，所以，即，且是
3、两平行线与之间的距离FFABCGCD2GDCDGDABEF 所以 .2PQQRRPPQQVVTGDCD1614在内取一点使，设，ABCM10MAB30MBA80ACB 求.ACBCAMCCAHBME解析 本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC 的高与直线交于点由对称性知，ABCCHBME ，30EABEBA 所以，20EAM 从而，20CAE 因为，又40AMEMABMBA ，1402ACEACB=所以，CAFMAE 于是，ACAM所以118040702AMC 1615在中，是高，在边上，已知，ABCAHHBC45BAC2BH ，求的面积3CH ABC 解析
4、作的关于的对称图形，作的关于的对称图HACACMACHABAB 形分别延长和，它们相交于，如图所示NABMCNBL2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3ANMBHCL易知，且90MN ，290NAMBAC AMAHAN 所以，四边形是正方形LMAN 设正方形的边长为，则LMANa ，3CLa2BLa 在直角三角形中，由勾股定理知BCL222BLCLBC222325aa解方程，得，即所以6a 6AH 1152ABCSBC AH1616如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条PQRSaABCD边上，求证：的周长不小于PQRS2 2a解析 作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关
5、ABCDBC11ABCD11ABCD于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，1CD221A B CD221A B CD21A D得到正方形，而、四点的对应点如图所示2331A B C DPQRSASDPBP1A1S1D1R3C3Q3B3P3A2P2B2Q2R CR1S2Q显然，故22 2AAa23AP A P，32PPAA2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4所以四边形的周长PQRSPQQRRSSP11223PQQRR SS P322 2PPAAa即四边形的周长不小于PQRS2 2a1617如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，ABCADE ，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：
6、不论90ABCADE ABCADEA 旋转到什么位置，线段上必存在点使力等腰直角三角形ADEECMBMDBADECMA解析 如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上BMDMEC 作关于的对称点，则ABDAA DBADB 因为，902ADEBDM 所以45EDMA DMA DB ，45ADB 又DADADE 所以又是关于的对称点AEDM 同理也是关于的对称点，因此ACBM ，EMDA MD CMBA MD 又因，90BMD 所以180CME 即在上（且为的中点） MECEC 1618如图，矩形中，若在、上各取一点、ABCD20AB 10BC ACABM ，使的值最小，试求出这个最小值NBMM
7、NDECG FANPM BQ解析 作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称点ABACAEBEACNAC，则在上，且有于，于FFAEBEACQNFACP2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5由对称变换可知，.MNBMMFMB 欲使最小，必须共线，所以最小值为点到的距离.MFBMBMFBMMNBAEBG在中，所以，则RtABC20AB 10BC 4 5AB BCBQAC28 5BEBQ在中，又，在RtABQ2222204 58 5AQABBQ20AEABABE中，则从而的最小值为11 22ABESBE AQAE BG16BE AQBGAEBMMN16 1619凸四边形中，求证：ABCDAB
8、DCBD ADBCDB .ABADBCCDDCEPAB解析将沿翻折，点落在点因为，所以BCDBDCPABDCBD ADBCDB 必定在内部延长线交于点，则PABDBPADE .ABADBEFDBPPDBCCD16110设表示凸四边形的面积，证明SABCD1()2SAB CDBC ADBACDDl解析如图，作点关于的垂直平分线 的对称点，显然与关于 成DAClDACDACDl 轴对称图形所以ABCDSS，BADBCDSS11sinsin22AB ADBADBC CDBCD()AB ADBC CD.1()2AB CDBC AD16111在矩形内取一点，使，试求ABCDM180BMCAMD 的值BC
9、MDAM 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6MADMBC解析 如图将沿平移至，显然，所以，BMCABADMMMAD BMCAM D 由已知条件，即、四点共圆，从而180AM DAMD AMDMBCMDAMADMDAM 90AMMDAM 16112设是平行四边形内一点，使得，PABCDPABPCB 证明：PBAPDA ADPPBC解析 如图，把平移至，则，及，APDPBAPCDP PBAP CD PPBC所以P PCBCP 又已知，故，从而、四点共圆于是PABPCB P PCCDP PDPC ，P PDP CD 又，P PDPDA 所以PBAPDA 16113（1）如图（a）所示，在梯形中，
10、.已知：，ABCDADBC3ADBC，3AC ，求梯形的面积6BD ABCD（2）如图（b） ，在梯形中，是的中点，于设ABCDADBCMCDMNABN ，求梯形的面积ABaMNhABCD解析（1）将平移到，连结，则，所以BDCEDE6CEBDDEBCBCADE (a)ADE NMCFB (b)3AEADDEADBC2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7222AEACCE 因此90ACE因为，ABCCDESS所以13222ACEABCDSSAC CE梯形（2）将平移至，如图（b）所示，过点由于，所以ABEFEFMMDFMCFABCDABFESSAB MNah梯形梯形评注 本题的两种添平行线法是
11、解梯形问题的常用方法 16114如图，在四边形中，、分别是及中点，ABCDADBCEFDCAB 的FE 延长线与及的延长线分别交于点、求证：ADBCHGAHFBGF GHDABFBCE(a)解析 1 如图（a） ，将线段平移至则四边形为平行四边形由于是CBABAB BCF 中AB 点，故、共线CFB现在是的中位线，故，所以EFCDBEFDB ，AHFADB BGFAB D 又显然故ABBCAD ADBAB D 于是AHFBGF GHECDMAFB(b)解析 2 如图（b） ，连结，取中点为，连结、，则、分别为ACACMMEMFMEMF 、CDA2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8的中位线，所
12、以，故ABC1 2MEDA1 2MFBC，MEFAHF ，AFEFGB 且，故，MEMFMEFMFE 所以AHFFGB 16115如图，、均垂直于，垂足为、AB 1AA1PP1BB11AB1A1P，求的值1B117AA 116PP 120BB 1112AB APBPACDA1P1B1EPB解析 将平移到，在线段上，延长交于，将平移到，在1PP1CAC1AABP1AAD1DA1EBE上1BB因为、均垂直于，所以四边形和都是矩形1AA1BB1PP11AB1 1CAPP11DAB E由，得又，所以，1116CAPP117AA 1AC 11AABBPDABA ，所以，90PCDPCA PCPCRtPC
13、DRtPCAPAPD1CDAC 于是，APBPBD，11115DAAAADEB115BEBBEB在中，也即RtBED1112DEAB2213BDBEDE13APBP16116在正三角形的三条边上，有三条相等的线段、证明：ABC12A A12B B12C C直线、所成的三角形中，三条线段、与包含它们的边21B C21C A21A B21B C21C A21A B成比例2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义9CABC1C2C3A1A2A3B1B2B3解析 如图，将平移到，连结、因为四边形为平行四边12C C2B P1PA1PB2PC12BC C P形，所以，故为正三角形，这1260B B PA 21212B PC CB B12B B P112B P A A样所得四边形为平行四边形，121A A B P121AP A B因此，由、这三条线段构成的三角形与全等，而21B C21C A21A B12APC12APC，从而命题得证333A B C16117如图所示，且共点于，2AABBCCO ，60AOBBOCCOA 求证：3AOBBOCCOASSSQA RBPCAOBC解析 将沿方向平移长的距离，得，将沿方向平移A OCA AA AAQRBOCBB长的距离，得由于BB
