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1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 18 章章 整数几何整数几何18.1.1已知的两条高长分别是 5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可ABC 能值 解析由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件 设第三条高为，则h111,155 111.515hh 解得，可取 4、5、6、7 这四个值1515 45hh18.1.2已知的三边长分别为，且边上的ABC3ABnx2BCnxCAnxBC 高的长为，其中为正整数，且，问：满足上述条件的三角形有几个？ADnn01x解析注意为之最长边，故，设，则，而ABABC90BBDyCDz0y 可正可负zABDC由，及，得，2yznx
2、22223242yznxnxnxx4yzx，由勾股定理，知，展开得，由及为32nyx2 22332nxnnx12nx01xn正整数，知，2，12，这样的三角形有 12 个1n 18.1.3已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过 20，其外接圆 半径与内切圆半径之比为，求此三角形周长的最大值5 2解析设该直角三角形直角边长为、，斜边为，则外接圆半径，内切圆半径abc2cR ，不妨设2abcr20a由条件知，平方，得，即5 2c abc557abc222225249ababab，2212250abab，34430abab于是，或，周长为，为正整3ak4bk5ck4ak3bk5c
3、k12kk2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2数的最大值为 6，此时各边为 18、24、30，周长最大值为k7218.1.4为不等边三角形，其他两边长均为整数，求的ABC60A7BC ABC 面积ABCxy60解析设，则由余弦定理，有ABxACy2249xyxy由条件，不妨设，则为之最小边，只能取值 1、2、3、4、5、6，xyxyABABCx分别代入，发现当或 5 时，其余情形均无整数解3x 8y 于是或1sin606 32ABCSxy 10 318.1.5一点与半径为 15 的圆的圆心距离是 9，求经过且长为整数的弦的条数PP 解析如图，半径为，过的弦长为整数，为直径，OA159OP P
4、STAPB6AP ，则，因此24PB 144SP TPPA PBA TP SOB224STSPTPSP TP又，故这样的弦共有条，其中与垂直的弦及30STAB 302412212AB各一条，其余的弦每种长度有两条（关于对称） ABAB18.1.6在直角三角形中，各边长都是整数，为边上的高，ABC90CCDAB为垂足，且（奇素数） ，求的值（用表示） D3BDppAC ABpCBDA解析由知，故设（ 为正整数） ，则，又由勾2BCBD AB2BD BC2BCp tt2BApt2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3股定理，知，故22 44 2ACp tp ttp AC设，代入得，易知只能有，解得A
5、Ckpt222ptktktk2tkp1tk，于是21 2pt21 2pk221 1ACp ABp18.1.7设正三角形，、分别在、上，两端延长，交ABCMNABACMNBCMN外接圆于、，若、长均为正整数，求的最小值ABCPQPMMNABAB解析如图， 易知也是整数设，则NQPMAMxBMyPMNQz，于是由相交弦定理，得，MNxxyz xz2zxyzAPQMNBC设，则，由于，故ykszkt,kyzst,1st 2ktxst2,1stt，要使达到最小，得取，于是由于st k2tABxykksstkst2ABtst s，知当，时取到最小值st2s1t223tst sts1AM 2BM AB3，
6、此时1PM 18.1.8已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面ABCD 积的两倍，且，求该四边形面积、对角线长度22250ADBC 解析不妨设，与交于，则ABBCbCDcDAdACBDO，于是由托勒密定理，知、sin2ABCDAC BDAOBSacbdAC BDABC必共圆，且满足又由已知条件，经搜索知DACBD22250bd22250ac 250 表为平方和只有两组：和由对称性，不妨设，22515229135a 13b 15c ，则9d 19622ABCDacbdSAC BD由余弦定理，因，得，得coscos0BADBCD222222591315045195BDBD
7、，于是4 10BD 24105AC 18.1.9是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍 的？证明你的结论ABC 解析存在满足条件的三角形 当的三边长分别为，时，ABC6a 4b 5c 2AB 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4如图，当时，延长至点，使连结，为等腰三角2AB BADADACbCDACD 形CDAB因为为的一个外角，所以由已知，所以BACACD2BACD 2BACB 所以为等腰三角形BD CBD又为与的一个公共角，有，于是，即DACDCBDACDCBDADCD CDBD，所以ba abc2ab bc而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件
8、的三角形26445评注满足条件的三角形是唯一的若，可得有如下三种情形：2AB 2ab bc（）当时，设，（为大于 1 的正整数） ，代入acb1ancn1bnn，得，解得，有，；2ab bc21121nnn5n 6a 4b 5c （）当时，设，（为大于 1 的正整数） ，代入cab1cncn1bnn，得解得，有，此时不能构成三角2ab bc212nnn2n 2a 1b 3c 形； （）当时，设，（为大于 1 的正整数） ，代入abc1anbn1cnn，得，即，此方程无整数解2ab bc2121nnn2310nn 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形存
9、 在，而且只有三边长分别为 4、5、6 构成的三角形满足条件18.1.10三边长为连续整数、周长不大于 100、且面积是有理数的三角形共有多少个？ 解析设三角形三边依次为、，则，1n n1n 333n，131122pnnnn Sp papbpc231111422nnn2344nn于是是平方数，令，得，则，234n 22343nk2243nk32n2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5，2 24102034033nk18k 又不可能是奇数，否则，得，则，k 222343nkk2243nk32n，2 24102034033nk18k 又不可能是奇数，否则，将，k22343 mod4nk2k 4，6
10、，8，10，12，14，16，18 代入，发现仅当，8 时满足要求因此这样的三角形2k 共有两个，三边长依次为 3、4、5 与 13、14、1518.1.11某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小 1575，求其周长的最小值 解析设直角三角形直角边长、，斜边为，则ab1575a ，2221575aba21575 21575ba由于，设，则，设，则，于是221575357105bk2721575ka7as22225ks 的最小值为 17，此时，此时的最小周长为 3808k32s 224a 1785b 1799c 18.1.12已知，是角平分线，也是整数，求所ABCAD14AB 24AC AD
11、AD 有可取的值AEBDC解析如图，作，在上，则易知DEABEACAEED又，故EDCDAC ABBCABAC22AB ACADAEDEEDABAC，33617.6819故17AD 又当时，不难通过构造出，故所有可取的值为17ADAEDABCAD 1，2，1718.1.13面积为的正方形内接于面积为 1 的正三角形，其中、a bcDEFGABCab是整数，且不能被任何质娄的平方整除，求的值cbac b2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6ADGBEFC解析设正方形的边长为，正三角形的边长为，则，由DEFGxABCm243m ，可得ADGABC3 2 3 2mxx mm 解得于是2 33xm22
12、22 3328 348xm由题意得，所以28a 3b 48c 20 3ac b 17.1.14如图，是的高，四边形是的内接正方形，若ADABCPQRSABC（即两位数） ，且、恰为从小到大的 4 个连续正整BCabSRcADdabcd数，求的所有可能值ABCSASRBP DQC解析易知，于是有，或11SRARCRSR BCACACAD 110cc abd，移项，得，或，解得或111 11132aaa11 11123aaa2650aa1a 5于是有两解：12,3,4;BCSRAD 56,7 ,8.BCSRAD 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7易知这两组数据都符合要求，故或24ABCS224
13、18.1.15已知中，是锐角从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；ABCBABCD从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为当和均为正整数时，CABE2BD BC2BE AB是什么三角形？并证明你的结论ABC解析设，、均为正整数，则2BDmBC2BEnABmn，244cos4BD BEmnBAB BC所以，2，31mn （1）当时，此时所以垂直平分，垂1mn 1cos2B 60B1mnADBCCE直平分，于是是等边三角形ABABC（2）当时，此时，或，所以点2mn 2cos2B 45B1m 2n 2m 1n 与点重合，或点与点重合故，或，于是是等腰EADC90BAC90BCAABC 直角三角形（3）时，此时，或，于是3mn 3cos2B 30B1m 3n 3m 1n 垂直平分，或垂直平分故，或，于是是ADBCCEAB30ACB30BACABC 顶角为的等腰三角形12018.1.6某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲） ，问问 这样的直角三角形有多少个？解析设直角边分别为、，则斜边，由条件知它是有理数，故必定是整ab22cab数设，为正整数，于是22 2kabababk 224k abab 由于也是正整数，故它只能为 1、2 或 4，记作22ababk由，得，时无解；22abkab
