【最新版】概率论与数理统计复习资料

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1、 概率论与数理统计公式概率论与数理统计公式大全大全 第第 1 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率 （1）排列 组合公式 )!(! nmmPnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nmnmCn m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 （2）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事） ：加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件

2、事） ：m mn n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 （3）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能

3、发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（ ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 （6）事件 的 关 系 与 运算 关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ： BA 如果同时有BA，AB ，则称事件A

4、与事件B等价，或称A等于B： A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根

5、率：11iiiiAABABA，BABA （7）概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （8）古典 概型 1 n21,， 2 nPPPn1)()()(21。 设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A （9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可

6、能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A， )()()(LALAP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 （10）加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P(B)=1- P(B) （12）条件 概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()( APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为

7、)/(ABP)()( APABP。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P( /B)=1P(B/A)=1-P(B/A) （13）乘法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn )1nA。 （14）独立 性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP， 则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有 )()()()( )()()|(BPAPBPAP AP

8、ABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全概 公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi， 2niiBA1 ， 则有 )|()()|()()|()(

9、)(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。 （16）贝叶 斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n， 2 niiBA1 ，0)(AP， 则 njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1i，2， n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 （17）伯努 利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试

10、验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率， knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0。 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 （1）离散 型随机变 量的分布 律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率

11、分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出： ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件： （1）0kp，, 2 , 1k， （2）11kkp 。 （2）连续 型随机变 量的分布 密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1 0)(xf。 2 1)(dxxf。 （3）离散 与连续型 随机变量 的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作

12、用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 （4）分布 函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 )()(xXPxF 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 )()()(aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。 分布函数具有如下性质： 1 , 1)(0xF x； 2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有 )(1xF)(2xF； 3 0)(lim)( xFF x， 1)(lim)( xFF x； 4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的； 5 )0()()(xFxFxXP。 对于离

13、散型随机变量， xxkkpxF)(； 对于连续型随机变量， x dxxfxF)()( 。 （5）八大 分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n, 2 , 1 , 0。 knkk nnqpCkPkXP)()(， 其中nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。 当1n时，kkqpkXP1)(，1 . 0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 ekkX

14、Pk!)(，0，2 , 1 , 0k， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np= ，n） 。 超几何分布 ),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 , 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 , 0,1 )(abxf其他， 则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1b。 axb 指数分布 其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为 记住积分公式： !0ndxexxn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(x exf， x， 其中、0为常数， 则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。 )(xf具有如下性质： 1 )(xf的图形是关于x对称的； 2 当x时，21)(f为最大值； 若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt 222)(21)