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1、5.1 一次移动平均法5.2一次指数平滑法5.3线性二次移动平均法5.4线性二次指数平滑法5.5布朗二次多项式（三次）指数平滑法5.6温特线性和季节性指数平滑法5 时间序列平滑预测法回总目录5.1 一次移动平均法一、一次移动平均法 一次移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。回总目录回本章目录 在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数，必须一开始就明确规定。每 出现一个新观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值，再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。这正是移动平均法的由来。 回总目录回本章目录由移动平均
2、法计算公式可以看出，每 一新预测值是对前一移动平均预测值的修 正，N 越大平滑效果愈好。设时间序列为移动平均法可以表示为 ：式中 ：为最新观察值；为下一期预测值；回总目录回本章目录（1）移动平均法有两种极端情况 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值； N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。回总目录回本章目录当数据的随机因素较大时，宜选用较大 的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因 素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。回总目录回本章目录（2）移动
3、平均法N的选取（3）移动平均法的优点 计算量少； 移动平均法能较好地反映时间序列的趋势及其变化。回总目录回本章目录（4）移动平均法的主要缺点 只能用于平稳时间序列的预测； 移动平均法只能用于短期预测。（5）移动平均法的两个主要限制 限制一：计算移动平均必须具有 N 个过 去观察值，当需要预测大量的数值时， 就 必须存储大量数据；回总目录回本章目录 限制二：N 个过去观察值中每一个权数都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。 例 1 分析预测我国平板玻璃月产量。例题分析时间 序号实际观测值三个月移动平均值 五个月移动平均值 198
4、0.1 1980.2 1980.3 1980.4 1980.5 1980.6 1980.7 1980.8 1980.9 1980.10 1980.11 1980.121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 (259.5)- - - 215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0- - - - - 218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5下表是我国198
5、0-1981年平板玻璃月产量，试选用N=3 和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。回总目录回本章目录5.2一次指数平滑法1. 一次指数平滑法模型回总目录回本章目录指数平滑法是由移动平均法演变而来的假设是平稳时间序列，则可以用前一期的预测值代替 ，并用 代替 即得一次指数平滑法是一种加权预测，权数为。 递推可得易见，每一递推观测值的权数按指数规律递减， 这就是指数平滑法的由来。2.由一次指数平滑法的通式可见 ：回总目录回本章目录3.模型讨论模型可化为它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产 生的误差的修正值。接近1时，新的预测值将包括对前一期预测误差的全部 修正值；接近0时，
6、新的预测值只包括很小一部分修正值；总之， 平滑系数取较大值时，预测值能较快的反映 出时间序列的变化情况；当平滑系数取较小值时，预测 值对时间序列变化反映比较慢，但比较平滑。4.模型优缺点优点：它既不需要存储全部历史数据，也不 需要存储一组数据，从而可以大大减少数 据存储问题，甚至有时只需一个最新观察 值、最新预测值和值，就可以进行预测。 缺点：适用于变化不大的平稳时间序列5.一次指数平滑法的初值的确定有几种方法： 取第一期的实际值为初值； 取最初几期的平均值为初值。 一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。回总目录回本章目录 例
7、 2 利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1 月我国平板玻璃月产量进行预测（取=0.3，0.5 ，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的进行 预测。拟选用=0.3，=0.5，=0.7试预测 。结果列入下表：回总目录回本章目录时间 序号实际观测值指数平滑法=0.3=0.5=0.71980.011980.021980.031980.041980.051980.061980.071980.081980.091980.101980.111980.121981.01123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.824
8、7.8259.5203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5 203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.8233.8 203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1 回总目录回本章目录=0.3，=0.5，=0.7时，均方误差分别为：MSE=287.1 MSE=297.43 MSE=233.36因此可选=0.7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为： 由上表可见：最小回总目录回本章目录5.
9、3 线性二次移动平均法 一、线性二次移动平均法（1）基本原理为了避免利用移动平均法预测有趋势 的数据时产生系统误差，发展了线性二次 移动平均法。这种方法的基础是计算二次 移动平均，即在对实际值进行一次移动平 均的基础上，再进行一次移动平均。在二次移动平均的基础上建立线性预测 模型进行预测。回总目录回本章目录（2）计算方法线性二次移动平均法的通式为：m为预测超前期数（5.1 ）（5.2 ）（5.3 ）（5.4 ）回总目录回本章目录用于计算一次移动平均值；用于计算二次移动平均值；N是计算移动平均数所选定的数据个数。线性预测模型：其中：（3）模型建立的思想：当序列具有趋势时，一次平均序列总是落后于实
10、际 数据序列，出现了之后偏差；二次移动平均序列也 与一次平均序列形成了滞后偏差。二次移动平均正 是利用这种滞后平常的演变规律建立上述线性预测 模型的：（5.3）式用于对预测（最新值）的初始点进 行基本 修正，使得预测值与实际值 之间不存在滞后现象；（5.4）式中用除以，这是因为 移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落 在N个点的中点。回总目录回本章目录（4） 线性二次移动平均法例题期数销销售额额St(1)(N=3 )St(2)(N=3)atbtFt+m(m=1)1125.0 -2135.0 -3195.0 151.7 -4197.5 175.8 -5186.0 192.8 173.4 2
11、12.2 19.4 -6175.0 186.2 184.9 187.4 1.2 231.6 7155.0 172.0 183.7 160.3 -11.7 188.6 8190.0 173.3 177.2 169.5 -3.8 148.7 9220.0 188.3 177.9 198.8 10.4 165.7 10219.0 209.7 190.4 228.9 19.2 209.2 11226.0 221.7 206.6 236.8 15.1 248.1 12198.0 214.3 215.2 213.4 -0.9 251.9 13260.0 228.0 221.3 234.7 6.7 212.
12、6 14245.0 234.3 225.6 243.1 8.8 241.3 15-251.9 （4） 线性二次移动平均法例题5.4 线性二次指数平滑法 一次移动平均法的两个限制因素在线性二次移 动平均法中也还存在，二次指数平滑主要是用平 滑值对时序存在的线性趋势进行修正。因此，二 次指数平滑也被称为线性二次指数平滑。线性二次指数平滑法只利用三个数据和一个值 就可进行计算； 在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数 平滑法作为预测方法。回总目录回本章目录 二次指数平滑法也称双重指数平滑，它是对一 次平滑值再进行一次平滑。一、布朗单一参数线性指数平滑法 其基本原理与线性二次移动平均法相似 ，因为当
13、趋势存在时，一次和二次平滑值都 滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加 在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。回总目录回本章目录平滑公式：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值；m为预测超前期数回总目录回本章目录由两个平滑值可以计算线性平滑模型的两个参数 ：得到线性平滑模型：注：二次指数平滑的平滑初始值通常采用或序列 最初几期数据的平均值 。布朗单一参数线性指数平滑法预测实例二、霍尔特双参数线性指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。回总目录回本章目录由于其可以用不同的参数对原序列的 趋势进行平滑，因此具有很大的灵活性。计算公式：（5.5 ）
14、（5.6 ）（5.5）式是利用前一期的趋势值直接修正（5.6）式用来修正趋势项，趋势值用相邻两次平滑值之差来表示。回总目录回本章目录即将bt-1加在前一平滑值St-1上，这就 消除了滞后，并使 St值近似达到最 新数值xt利用 对相邻两次平滑值之差 进行修正，并将修正值加上前期估 计值乘以（1- ）霍尔特双参数线性指数平滑法预测实例5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法一、基本原理：当数据的基本模型具有二次、三次或高次幂时，则需要用高次平滑形式。从线性平滑过渡到二次多项式平滑，基本途径是再进行一次平滑（即三次平滑），并对二次多项式的参数作出估计。类似，也可以由二次多项式平滑过渡为三次或高次多
15、项式平滑。 回总目录回本章目录5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法二、应用条件：对于非线性增长（减少）的时间序列，采用 二次曲线指数平滑法可能比线性指数平滑 法更为有效。它的特点是不但考虑了线性 增长趋势，而且也考虑了二次抛物线的增 长因素。三、 计算公式：1.计算t时期的单指数平滑值2.计算t时期的双指数平滑值3.计算t时期的三重指数平滑值4.计算t时期的水平值回总目录回本章目录5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法回总目录回本章目录5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法三、 计算公式：5.计算t时期的线性增长量6.计算t时期的抛物线增长量7.预测t时期以后，即t+m时期的数值 例：
16、某地区统计了从1983年到2006年每年的消费品销售总 额，试预测2007年数据年度销售总额 （亿元 ） 198312.90 198414.91198515.96198614.41198714.57198814.60 198915.35 199015.84 199116.90 199218.26 199317.40 199418.71 年度销售总额 （亿元）199519.53 199620.82 199722.87 199824.59 199925.93 200028.04 200129.45 200231.47 200333.99 200439.56 200548.08 200653.67 散点图：时
