大学物理25

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1、1第二十五章第二十五章玻尔的氢原子理论在解释比氢原子复杂的原子光谱时与实验结果有显著的偏差。同时它也 不能计算谱线强度和能级间跃迁的几率问题，它也无法说明为什么氢原子中核与电子间的 库仑相互作用是有效的，而加速电子处于定态时发射电磁波的能力却消失了。对原子光谱 的进一步研究应建立在更为严格的量子物理学的基础上。1、德布、德布罗罗意假意假设设： ：1924 年德布罗意（法国）从对称性出发，提出了德布罗意波或称物质波。将光的波粒二象 性推广到了所有的实物粒子，认为实物粒子也具有波动性，并提出以下关系：实物粒子的能量： hmcE2 实物粒子的动量： hmvp 以上两式称为 德布罗意公式 或 德布罗意

2、假设。实物粒子波动性的实验证据：实物粒子波动性的实验证据： (1) 1927 年戴维孙革末通过电子在晶体表面的散射实验得到了与 X 射线衍射相似的电 子衍射图象。电子在单晶金上的衍射图象 电子在金钒多晶上的衍射图象(2) 1927 年汤姆孙（英国）通过电子在多晶膜上的透射得到了环状的电子衍射图象。它与 光的圆孔衍射图象极为相似。光的圆孔衍射图象 电子穿过金箔的衍射图象2(3) 约恩孙从电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验证实了电子也具有波动性。下图为 约恩孙电子电子双缝、四缝衍射图象以后的实验还证实了中子、质子以及原子等都具有波动性。由德布罗意公式，实物粒子波动性的频率和波长分别为：ph,hE

3、 由于普朗克常量如此的小（1034） ，使宏观粒子波动性（物质波）的频率如此的高、波长 如此的短。所以宏观粒子的波动性显现不出来，但微观粒子的波动性却相当显著。由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件：由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件： 要使绕核运动的电子处于稳定状态，则与该电子相应的波必须是一个驻波。当电子绕核一 周后，这个波的相位不变，即电子绕核运动的周长必须是其相应波长的整数倍，即：mvhnphnnr2 或：,3 ,2 , 1nn2hnmvr 可见：德布罗意波的驻波条件就是玻尔氢原子理论的角动量量子化条件。2、德布、德布罗罗意波（物意波（物质质波）的波）的统计统计

4、解解释释： ：1926 年，玻恩（德国）指出德布罗意波是概率波。3单色光的每一光子带有相同的能量，屏上光强代表光子数量的多少。即明暗条纹的分布表 示到达屏上光子数的分布。 设想光源 S 很弱，以致它一个一个间断地发出光子。因每一个光子都是一个集中单元，它 只可能从双缝中的一条通过。对单个光子而言，它落在屏幕上的哪一点是不确定的，但大 量光子到达屏幕上的位置符合一定的概率统计规律。而这一概率分布与由波动理论中干涉、 衍射所确定的光强分布一致。因此，从光子概念出发，光是概率波。下图为光子和电子穿过双缝时的衍射实验结果由于微观粒子也具有波粒二象性，所以与微观粒子相对应的德布罗意波（物质波）也应该 是

5、概率波。即：单个粒子在空间的位置是不确定的，但大量粒子在空间的位置分布应该是 由物质波的强度所确定的概率分布。物质波强度大的地方，粒子出现的概率也大。 下图为电子逐个穿过双缝时的衍射实验结果：4例题例题 25-1-1牛顿力学认为：质点沿确定的轨道运动，任意时刻质点具有确定的位置和动量。而质 点的运动状态由其位置和动量决定。 量子力学认为：粒子具有波动性，其位置由概率波描述，而概率波只能给出粒子在各 处出现的概率，因而粒子在任意时刻不具有确定的位置和动量。 1927 年海森堡（德国）根据量子力学证明微观粒子位置的不确定量和动量的不确定量 之间的关系为：2pz,2py,2pxzyx 式中：sJ10

6、0546. 12h34 ，称为约化普朗克常量。 上式称为海森堡坐标和动量的不确定关系。其意义是：微观粒子不可能同时具有确定 的位置和动量。利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明：利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明： 设一束动量为 p 的电子垂直入射在宽为 x 的单缝上。对一个电子而言，无法确定其通过缝时的具体位置，即其 x 方向的位置不确定量为 x。 电子通过单缝后，因衍射作用，其动量的 x 分量 px0。若忽略次极大，则：1xsinpp0 。其中：1 为半角宽度，它满足：5 1sinx 所以，电子在 x 方向的动量不确定量为：xh xh xpsinpp1x 即：hpxx 若考虑次极大

7、，则： hpxx 更为精确的理论证明：24hpxx 不确定关系揭示了一条重要的物理规律：即粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和 确定的动量。 当：x时，px0，如：光的直线传播原理。 当：x0 时，px，这说明单缝越窄则衍射越明显。 注：由于 h 是一个极小的物理量，所以对宏观粒子，不确定关系是察觉不到的。不确定关系的另一重要形式为能量和时间的不确定关系：24htE 由于处于激发态的原子都是不稳定的，其平均寿命t 约为 108s 数量级。由能量与时间 的不确定关系可见，原子激发态的能量也具有一个不确定量E，即任何激发态都具有一 定的能级宽度。实验也证实了能级宽度的存在，即单色光的谱线有一定的宽

8、度。例题例题 25-2-1例题例题 25-2-261、波函数、波函数物物质质波的数学表达式：波的数学表达式：概率波的数学表达式称为波函数。它应该是空间位置和时间的函数： )t , z ,y,x( 我们可以通过类比的方法来得到自由粒子的波函数： 沿 x 方向传播的单色平面光波的波函数为：)xt(2cosA)t ,x( y 其指数形式为：)xt(2iAe)t ,x(y 所以，沿 x 方向运动的自由粒子的波函数为：)xt(2i0e)t ,x( 或：)pxtE(i0e)t ,x( 式中： hp,hE 由物质波的统计意义：物质波的强度等于粒子在空间各点处出现的概率。所以，某时刻、 某点附近 dv 体积内

9、粒子出现的概率为：dv2 其中：dv=dxdydz上式中，2 0*2 ,为空间某点附近单位体积内出现粒子的概率，称为概率密度。而粒子出现在整个空间内的概率应等于 1，即：1dv2 个 个个 个个 个个 个 称为波函数的归一化条件。 另外，波函数还应该满足如下的标准条件： (1) 单值：任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。 (2) 有限：粒子出现在空间某处的概率不可能大于 1。 (3) 连续:粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。2、薛定、薛定谔谔方程：方程：质量为 m、动量为 p、能量为 E 的一维自由粒子的波函数：tEi)pxtE(i0e)x(e)t ,x( 其中：xpi0e)x( , 与

10、时间 t 无关，称为定态波函数。 将上式对 x 求二阶导数，得：)x(pe)phi(dxd22xpi02 22 7非相对论情况下：k2mE2p 所以：0)x(mE2 dxd2k 22 称为一维自由粒子的定态薛定谔方程。若粒子在不随时间变化的势场 U 中运动，则其能量为：UEEk 或UEEk 。 此时一维定态薛定谔方程为：0)x()UE(m2 dxd222 推广到三维空间，则有：0)UE(m222 式中：222222 2 zyx 为拉普拉斯算符。一维无限深势阱的势能函数为： ax,0xax00)x(U因粒子不可能跃出势阱，所以：当 x0 和 xa 时，(x) = 0 。经典理论： (1) 粒子在

11、势阱内的能量可以取任意值（连续） ； (2) 粒子在势阱内各处出现的概率是相等的。量子理论： 势阱内 U=0，定态薛定谔方程为：0Em2 xdd222 令：Em2k22 ，则：0kxdd2 22 8方程的解：kxsinBkxcosA)x( 由边界条件： 当 x = 0 时，(0) = 0 得： 0A 当 x = a 时，(a) = 0 得：,.3 ,2 , 1n,anknka 个 个ax0xansinB)x( 再由波函数的归一化条件：1aB21dx)xan2cos1(2BxdxansinBdx)x(2a0a02 22a02 得：a2B 结论： (1) 一维无限深势阱中粒子的波函数为：)ax0(

12、xansina2)x( (2) 粒子在势阱内各处出现的概率密度为：)ax0(xansina2)x(22 (3) 粒子可能具有的能量值为：,.)2 , 1n(nEnma2m2kE2 12 22222n 其中：2221ma2E 称为基态能量或零点能。 可见：一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的。见下图：9讨论： (1) 一维无限深势阱中的粒子在势阱中各处出现的概率密度是不同的，并随量子数而变。 (2) 量子数 n 增大时，势阱内概率密度的峰值增多。当 n时，相邻峰值无限接近，此 时，可以认为势阱内概率密度处处相等。 (3) 对大能量的粒子，量子数 n 很大，但0n1n2 nn)1n( EEE222

13、2nn1n 可见：大能量粒子在势阱内的运动回到经典力学的情况。例题例题 25-4-1一维势垒的势能函数： 0xU0x0)x(U010此时定态薛定谔方程为：)0x(0)UE(m2 xdd)0x(0Em2 xdd0222222 令：202 222 1)UE(m2k,mE2k 。得：)0x(0kxdd)0x(0kxdd2 2222 122 方程的解：)0x(Ce)x()0x(BeAe)x(xk 2xkixki 1211 经典理论：粒子不可能在 x 0 处出现。 量子理论：粒子可以穿入势能大于其总能量的区域。 这种量子效应称为隧道穿透效应。隧道扫描显微镜（隧道扫描显微镜（STM）：）： 1982 年，葛宾尼(Gerd Binning)和海罗雷尔(Henrich Rohrer)共同研制成功了扫描隧道显微 镜(Scanning Tunneling Microscope，简称 STM)。它使人类第一次能够实时地观察单个原子 在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物理化学性质，在表面科学、材料科学、 生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广阔的应用前景。为