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1、孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品傅里叶变换（下 ）孔 孔 出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品 上次的关键词是：从侧面看。这次的关键词是：从下面看。 在第二课最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。 先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事： 先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。 好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。 别说标准不标准了
2、，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？ 孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品 好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。 但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。 所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。 再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途求解微分方程。（这段有点难度，看不
3、懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。 傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品下面我们继续说相位谱： 通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没 有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而 没有提到相位。基础的正弦波A.sin（wt+）中，振幅，频率，相位缺一不可，不同 相位决定了波的位置，所
4、以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们 还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混 论，我们用7个波叠加的图。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东 西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而 这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将 红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些 粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看 作2或者360度的话，相位差则是时
5、间差在一个周期中所占的比 例。我们将时间差除周期再乘2，就得到了相位差。 在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频 率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相 位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对 不起，我只是想看看你的相位谱。”注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+ ）=-cos（ t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波 的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的 是，由于cos（t+2）=cos（t），所以相位差是周期的， 和3 ， 5 ，7 都是相同的相位。人为定义相位谱的值域
6、为（- ， ， 所以图中的相位差均为 。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品往昔连续非周期，回忆周期不连续，任你ZT、DFT，还原不回去。在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。比如傅里叶级数，在时域是一个
7、周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续 信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。算了，还是上一张图方便大家理解吧：或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期 无限大的函数进行傅里叶变换。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散 的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱 是什么样子呢？你见过大海么？为了
8、方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶 级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐 变得连续直到变得像波涛起伏的大海：孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算 参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像 屎一样了。不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成 了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以 在计算上也从求和符号变成了积分符号。不过，这个故事
9、还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图 更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事 继续，这个工具就是宇宙第一帅欧拉公式。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平 方根，可是它真正的意义是什么呢?孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当 它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当 它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕 原点旋转了 180 度。我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了
10、180 度，那么乘一 次 i 呢答案很简单旋转了 90 度。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了 一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个 功能旋转。现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场 这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙 第一耍帅公式是因为它的特殊形式当x等于 Pi 的时候。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来 给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e， 自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美
11、丽啊！“ 但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝“孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。关于复数更深的理解，大家可以参考：复数的物理意义是什么？：孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品六、指数形式的傅里叶变换有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为 螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形
12、象 的栗子来理解是什么呢？ 光波高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著 名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更 重要的意义。但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围 有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围 有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：孔孔出品孔孔出品孔孔出品
13、孔孔出品我们刚才讲过，e(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e(-it)则 可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同 的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（ 注意不是复频率）。好了，刚才我们已经看到了大海连续的傅里叶变换频谱，现在想一想 ，连续的螺旋线会是什么样子：想象一下再往下翻：孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品是不是很漂亮？你猜猜，这个图形在时域是什么样子？孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单 的问题搞得很复杂的东西。顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示 了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的 ，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期 ）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一 个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品孔孔出品完结
