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1、一道三角题的多种解法与一道三角题的多种解法与“弦图弦图”背景背景湖北省阳新县高级中学 邹生书题目题目 以的斜边为一边向形外作正方形，设，求证:.这是笔者从华中师范大学彭翕成老师的博客中看到的一道题目，该题首先是由彭老师 发给史嘉老师的并且要求用向量进行解答，然后史嘉老师将此题发到人教网上征求解答， 引起网友们的强烈反响和热烈参与，解法多种多样精彩纷呈，笔者从中受益匪浅，现将有 关解法和本人的肤浅体会整理成文与大家分享.一、路漫漫其修远兮，吾将上下而求索一、路漫漫其修远兮，吾将上下而求索图 1证法证法 1 如图 1，过点作于点交于点，设，设正方形的边长为 1，则，.于是.同理，.由余弦定理得，
2、图 2.由上易证.证法证法 2 以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示，设正方形的边长为 2.依题意点在以为直径的上半圆上，设点的坐标为.由向量夹角公式知，要证.只要证，只要证. 由，得.由，得.所以.又，.所以，所以，故.证法证法 3 以的中点为坐标原点建立直角坐标系如图 2 所示，设正方形的边长为2，依题意点在以为直径的上半圆上，设点的坐标为.因为，所以要证，只要证，即要证，两边同除以，则只要证.由到角公式得，.故.二、二、“弦图弦图”背景背景会当临绝顶，一览众山小会当临绝顶，一览众山小该题文字简洁解法多样且背景深厚.上述证法运算量较大，若将其补成一个正方形如图 3 所示，补形后不
3、仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更加简洁直观.证法证法 4 同法 2 只要证.如图 3，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设直线图 3相交于点，易证四边形是正方形，且四个角上的四个直角形全等，此图就是我国古代数学家赵爽用于证明勾股定理的“弦图”.设，则，则.由向量数量积的几何意义得，所以. .所以.所以.故.证法证法 5 同法 4 补形成正方形，由直角三角形的边角关系得，所以.由余弦定理得，.综上.证法证法 6 如图 3，因为，所以要证，只要证，即要证.而，所以，故.证法证法 7 同法 6 只要证，两边同除以，则只要证，而，故.赵爽弦图赵爽弦图2002 年国际数学家大会在北京
4、召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”， 体现了数学研究中的继承和发展.赵爽的“弦图”隐含了勾股定理的两种面积证法，其证法如 下:证法证法 1 由“弦图”知，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积减去 4 个两直角边为的三角形面积，即.证法证法 2 由“弦图”知，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积加上 4 个两直角边为的三角形面积，即. 赵爽的“弦图”证法优美精巧是证明勾股定理最著名的证法之一，特别是“弦图”一图蕴 涵两种证法更是举世无双.“弦图”是证明勾股定理的无字证明，充分体现了我国古代的数学 文明和数学文化，本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且证明思路更加清晰证法更 加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵.
