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1、2010 年高考数学北京卷（理）答案及详细解析 学而思高考研究中心邓杨从 7 号下午考完数学开始，就不停有同学给我打电话，告诉我今年北京卷的数学变化 如何如何，而只有当真正拿到这张试卷的时候，才感慨新课改的刺激作用的确不小，在经 历了 09 年的一场四平八稳的送别大纲课程考试之后，北京真正地迎来了新课改后的第一届 高考。下面就这张理科数学试卷作一个评析。从整体风格上来看，北京卷仍然继承一向的传统，注重考查学生的基本数学素养和能 力，不侧重复杂的计算和极高的解题技巧，但是在此基础之上，突破了今年北京一模二模 的保守，不仅仅是简单地将新课改的知识点加入到考试卷中，更重要的是从题目的设置上 体现了新
2、课改的精神，注重学习能力和创新能力的挖掘，从这个意义上来讲，今年的这张 北京卷是成功的，消除了许多老师之前的担心担心北京卷过于求稳或者过于求新所带 来的弊端。其实试卷的难度并不是评价一张试卷好或者坏的标准，当然，试卷过于简单或者过于 难以至于失去了区分度自然会遭人诟病，而笔者认为如何在一些平凡的知识点考察当中命 题命出新意，命出思想，才是一张试卷的亮点所在，今年的这张北京卷，无疑还是有不少 让人眼睛一亮的题目，未必是难题，却值得琢磨。下面就一些具体问题来阐述一下解题思路，希望可以指点今后高三学生的一些复习方 向。 选择题，第 5 题，考察知识点：极坐标系，在这个问题的设置上，命题人很巧妙地加
3、入了一个乘积为 0 的现象，这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识， 认为就是简简单单的坐标转化，这一设置虽未增加多少难度，但构思仍然值得称赞。 选择题，第 6 题，考察知识点：常用逻辑，向量。借助函数的背景，把几个小知识点 灵活地放在一起，若略有粗心便可能失分。 选择题，第 7 题，考察知识点：线性规划，指数函数。同样是求参数范围，这道题却 能突破常规，最大值是 3 容易想，所有的 a 大于 1 却需要学生敏锐的观察力。 选择题，第 8 题，考察知识点：立体几何。四个运动的点会让考生感觉不太舒服，而 几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变，这也是一向北京市命题风格，
4、 09 年的选择题最后一题也体现了这个风格。 填空题，第 14 题，一个正方形的滚动虽然是新背景，但也不是第一次在考试中见到， 但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生，如何迅速地考察运动状态的每一次变化， 就成为了解决这个问题的关键。 解答题整体难度梯度较好，第 15 题直接考察三角函数虽然有些出人意外，但题目本身 中规中矩，跟平时三角函数的练习并没有太大区别，立体几何，概率，导数三道大题也依 然维持常态，与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。值得说的是最后两道大题。 19 题为解析几何大题，第二问很多考生反映说计算量很大，的确，如果按照一般的计 算交点然后计算距离的方式去求三角形面积，计
5、算量的确不小，但是这样做的同学大多数 都是拿到题目，未详细思考直接动笔运算，事实上，如果认真考察两个三角形之间的关系， 便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算，我后面给出的解法口算即可完成。 最后一题的立意继承了 07 年的压轴题立意，在离散情况下处理集合的新背景规则，带 有一些组合技巧。考生的瓶颈在于读题上，大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花，这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅，不能将抽象的符号语言转化为 直观的认识，北京近年来的压轴题风格多为此类，下一届的高三应该在这方面多下功夫。 这道题目详细的分析过程见后面的答案分析，这里不多说了。简要分析到此，下面奉上详细解答，
6、并提前预告大家关注 6 月 13 日，6 月 14 日学而 思首届新课改高考分析讲座。选择题 1，B解析：0,1,2P ，3,3M ，因此PM 0,1,22，C解析：2341010 123451maa a a a aq qqqqa q，因此有11m 3，C 解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。 4，A解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有8 8A种排法，然后将两位老师插入 9 个空中，共有2 9A种排法，因此一共有82 89A A种排法。5，C解析：原方程等价于1或，前者是半径为 1 的圆，后者是一条射线。6，B解析：222( )(
7、) ()()()f xxabxbaa b xbaxa bA，如ab，则有0a b，如果同时有ba，则函数恒为 0，不是一次函数，因此不充分，而如果( )f x为一次函数，则0a b，因此可得ab，故该条件必要。 7，A解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域 D 的图象，联系指数函数xya的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a 大于 1，图象必然经过区域内的点。 8，D 解析：这道题目延续了北京高考近年 8，14，20 的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，EFQ的面积永远不变，为面11ABCD面积的1 4，而当P点变化时，它
8、到面11ABCD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。二、填空题9， （-1，1）.解析：22 (1)(1)11(1)(1)iiiiiiiii 10， 1。解析：3 sin12sin123CBbc ，因此,66BAB ，故1ab。 11，0.030， 3 解析：由所有小矩形面积为 1 不难得到0.030a ，而三组身高区间的人数比为 3:2:1，由分 层抽样的原理不难得到 140-150 区间内的人数为 3 人。12，5，2 7解析：首先由割线定理不难知道AB ACAD AE，于是8,5AEDE，又BDAE，故BE为直径，因此90C，由勾股定理可知22228CEAEAC，故2 7CE 1
9、3，4,0，3yx 解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为4,0，又双曲线离心率为 2，即2,4cca ，故2,2 3ab，渐近线为3byxxa 14， 4，1解析：不难想象，从某一个顶点（比如 A）落在 x 轴上的时候开始计算，到下一次 A 点落 在 x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1，因此该函数的周期为 4。下面考察 P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕 A 点运动1 4个圆，该圆半径为 1，然后以 B 点为中心，滚动到 C 点落地，其间是以 BP 为半径，旋转 90，然后以 C 为圆心，
10、再旋转 90，这 时候以 CP 为半径，因此最终构成图象如下：P A B C PPP因此不难算出这块的面积为1。三、解答题 15（I）2239()2cossin4cos12.333344f （2）2222( )2(2cos1)(1 cos)4cos3cos4cos1273(cos),33f xxxxxxxxR因为cos1,1 ,x 所以当cos1x 时，( )f x取最大值 6；当2cos3x 时，取最小值7 3 。16证明：（I）设 AC 与 BD 交于点 G，因为 EFAG，且EF=1，AG=1 2AC=1，所以四边形 AGEF 为平行四边形。所以AFEG。因为 EGP 平面 BDE，AF
11、平面 BDE，所以 AF 平面 BDE。 （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 CEAC，所以 CEAC，所以 CE平面 ABCD。如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz。则C（0， 0， 0） ，A（2，2，0） ，D（2，0， 0） ，E（0， 0， 1） ，F（2 2，2 2，1） 。所以CF =（2 2，2 2，1） ，BE =（0，2，） ，DE （2，0，） 。所以CF BE = 0-1+1=0，CF DE =。所以CFBE，CFDE，所以 CF平面 BDE（III）由（II）知，CF =（2 2，2 2，1） ，是平面 BDE 的
12、一个法向量，设平面 ABE 的法向量n =（x,y,z）,则n BA =0，n BE =0。即( , , ) ( 2,0,0)0( , , ) (0,2,1)0x y zx y z所以 x=0，且 z=2y。令 y=1，则 z=2。所以 n=（0,1, 2） ，从而 cos（n ，CF ）=3 2n CFn CF 因为二面角 A-BE-D 为锐角，所以二面角 A-BE-D 为6。17 解：事件 A，表示“该生第 i 门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知1234(),(),().5P AP Ap P Aq（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至
13、少有一门课程取得优秀成绩的概率是 61191(0)1.125125P （II）由题意可知，12312316(0)()(1)(1),5125 424(3)().5125PP A A ApqpP A A Apq整理得 pq=32,55q 。（III）由题意知，123123123(1)()()()411(1)(1)(1)(1)555 37.125aPP A A AP A A AP A A Apqpqp q(2)1(0)(1)(3)58.125bPPPP 0(0) 1(1)2(2)3(3)9.5EPPPP 18解：（I）当2k 时， 21( )ln(1),( )12 .1f xxxxfxxx 由于3(
14、1)ln(2),(1),2ff 所以曲线( )1,(1)yf xf在点（处的切线方程为3ln2(1)2yx 。即322ln230xy（II）(1)( ),( 1,).1x kxkfxxx 当0k 时，( ).1xfxx 因此在区间( 1,0)上，( )0fx ；在区间(0,)上，( )0fx ；所以( )f x的单调递增区间为( 1,0)，单调递减区间为(0,)；当01k时，(1)( )01x kxkfxx，得1210,0kxxk ;因此，在区间1,0和1(,)k k 上，( )0fx ；在区间1(0,)k k上，( )0fx ；即函数 ( )f x的单调递增区间为1,0和1(,)k k ，单调递减区间为1(0,)k k；当1k 时，2 ( )1xfxx.( )f x的递增区间为( 1,) 当1k 时，由(1)( )01x kxkfxx，得1210,( 1,0)kxxk ；因此，在区间1( 1,)k k 和(0,)上，( )0fx ，在区间1(,0)k k上，( )0fx ；即函数 ( )f x的单调递增区间为11,k k和(0,)，单调递减区间为1(,0)k k。19， 解：（1）因点 B 与（-1,1）关于原点对称，得 B 点坐标为（1，-1） 。设 P 点坐标为, x y，则11,11APBPyykkxx，由题意得111 113yy xx ，化简得：2234,(1)xy
