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1、2006年全国初中数学联赛试题 2006年全国初中数学联赛试题 第一试 第一试 一、选择题（每小题一、选择题（每小题7分，共分，共42分）分） 1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、EF、GH、 CD、DA的中点，用S,P分别表示四边形的面积和周长；S1,P1分别表示四边形的面积和周长.设,1SSK =,11PPK =则下面关于K、K1的说法中，正确的是（ ）. A. K、K1均为常值 B. K为常值，K1不为常值 C. K1为常值，K不为常值 D. K、K1均不为常值 2.已知m为实数，且sin、cos是关于x的方程 3x2-mx+1=0的两根.则sin4+
2、cos4 的值为（ ）. A. 29 B. 13 C. 79 D. 1 3.关于x的方程axx=|1|2 仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）. a A. a 0 B. a4 C. 2 0，则实数a、b、c的大小关系是（ ）. , 0222=+caba2abc A.bc a B. cab C. abc D. bac 5. a、b为有理数，且满足等式 324163+=+ba,则a+b的值为（ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.将满足条件 “至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数” 从小到大排成一列数： 20，40，60，80，100，104，.则这列数中的笫158个数为
3、（ ）. A. 2000 B. 2004 C. 2008 D. 2012 二、填空题（每小题7分，共28分） 1.函数的图像与x轴交点的横坐标之和等于_. 2008|20062+=xxy2.在等腰RtABC中，AC=BC=1,M是BC的中点，CEAM于点E，交AB于点F.则 SMBF=_. 3.使16)8(422+xx取最小值的实数x的值为_. 4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O (0,0)，A(100,0)，B (100,100)，C (0,100). 若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足： SPOASPBC= SPABSPOC, 就称格点为“好点”.则正
4、方形内部好点的个数为 _. (注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 第二试(A) 第二试(A) 一、（20分）已知关于x的一元二次方程 无相异两实根.则满足条件的有序正整数组（a，b）有多少组? 0)994()32(2222=+baxbax二、（25分）如图，D为等腰ABC底边BC的中点，E、F分别 为AC及其延长线上的点.已知EDF=90，ED= DF =1，AD=5， 求线段BC的长. 三、（25分）如图，在平行四边形ABCD中，A的平分线 分别与BC、DC的延长线交于点E、F， 点O、O1分别为CEF、 ABE的外心.求证： （1）O、E、O1三点共线； （2）
5、OBD=21ABC. 第二试（B） 第二试（B） 一、（20分）同A卷第一题. 二、（25分）同A卷第二题. 三、（25分）如图，在平行四边形ABCD中，A的平分线 分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为 CEF、ABE的外心. （1）求证：O、E、O1三点共线； （2）若21ABC=70，求OBD的度数. 第二试（C） 第二试（C） 一、（20分）同A卷第二题. 二、（25分）同B卷第三题. 三、（25分）设p为正整数，且p2.在平面直角坐标系中，点A (0,p)和点B (p,0) 的连线段通过p-1个格点， C1 (1, p1)， Ci(i,pi)，Cp1 (p1,1).
6、证明： （1）若p为质数，则在原点(0，0)与点Ci(i，pi) 的连线段OCi（i=1，2，p1） 上除端点外无其他格点； （2）若在原点O(0，0)与点Ci(i，pi)的连线段OCi（i=1，2，p1）上除端点 外无其他格点，则p为质数. 2006年全国初中数学联赛答案 2006年全国初中数学联赛答案 第一试 第一试 一、选择题 1.B 如图， 易知 SAEH =41SABD, SCFG=41SCBD， 于是 SAEH+ SCFG = 41SABCD, 同理，故SBEF+ SDHG = 41SABCD,故SEFGH = 21SABCD即 k =2为常值. 又易知，P1=AC+BD, 特别地
7、，若取邻边长分别为1、2的矩形，则k1=;53再取邻边长分别为1、的矩形，则k1=,104故k不是常值. 2. C 由根与系数的关系知 sincos =31， 则有sin4+cos4 = (sin2+cos2)2 -2(sincos)2 = ,973. D 当a0时，原方程化为axx=12整理得 x2-ax+a=0（1）或x2+ax-a=0（2） 因为方程（2）的判别式2=a2+4a0, 即方程（2）有两个不同实根。 又因为原方程仅有两个不同实根，故必有方程（1）的判别式1=a2-4aa2及 b0知c0；由2ab=a2+c2及 b0知a0 由a2-2ab+c2 = 0 b2-c2 =(ab)2
8、 0，从而bc （*） 若b=c，由a2-2ab+c2 = 0知a=b，从而a=b=c与bca2矛盾，故bc 又由b2bca2，故b a；由a2+c2= 2ab2a2，故ca 从而bc a 5. B 因为333612)31 (1632416+=+=+=+ 333+=+ba, 即03) 1()3(=+ba, a,b为有理数，a=3,b=1,a+b=4. 6. C 在正整数中， 是4的倍数为末两位是4的倍数， 其中包含数字0的情况 “00，04，08，20，40，60，80”和不包含数字0的18种情形. 显然，满足条件的两位数仅有4个；满足条件三数共97=63个；满足条件且千数为1的四位数：共有7
9、10+181=88个， 因为4+63+88=155，则从小到大第155个满足条件的数为1980， 下面满足条件的数依次为2000，2004，2008. 故这列数中的第158个数为2008. 二 填空题 二 填空题 1. 0 原问题可转化为求方程x2-2006| x |+2008=0 的所有实根之和。若实数x0为方程的根，则其相反数-x0也为方程的根，即与x轴交点的横坐标之和等于0. 2. 121如图， 过B作BGBC交CF延长线于G，易证RtACMRtCBG 故BG=CM，SCBG = SACM=21SABC, 又易证BFMBFG 故SMBF = SBMF= SCMF , 从而SBGF =31
10、SCBG =61SABC = 1213. 38在直角坐标系中， 设A (0,2),B (8,4),P (x,0)， 则|PA|=42+x，|PB|=16)8(2+ x 所以|PA|+|PB|AB|=106822=+当且仅当A、P、B三点共线时等号成立, 即当且仅当A、P、B三点共线时原式取最小值. 此时如图易知 BCPAOP,故有224=AOBC POCP从而 OP=31OC=38,即原式取最小值式, x =384. 197 如图,过点P作PDOA于D, 作PEAB于E, 作PFBC于F, 作PGOC于G. 易知PF+PD = 100, PE+PG = 100 由 SPOA SPBC = SP
11、AB SBPOC 知PDPF=PEPG 即 PD(100-PD) = PG(100-PG) 化简为(PD-PG) (PD+PG-100)=0 故 PD=PG 或 PD+PG=100， 即PD=PG 或 PG=PF 于是，P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点 同理， 可以知道当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时， 满足SPOA SPBC = SPAB SBPOC 因此， 点P为 “好点” 当且仅当P为对角线OB上的点或对角线AC内部的格点，易知OB内部有99个“好点”, PA内部也有99个“好点”,又易知OB与AC的交点也为“好点”, 于是,满足条件的“好点”的个数为 99+99
12、-1=197个. 第二试(A卷) 第二试(A卷) 一 无相异两实根， 0)994()32(2222=+baxbax所以，化简为 0)994(4)32(2222+=baba45632+baab, a,b 为正整数, ,54) 32)(3(+ba,454 35432+ab2b+313, 故b5 当b=1时,5543+a故a7, 符合条件的有序正整数对共有7组; 当b=2时,7543+a故a4, 符合条件的有序正整数对共有4组; 当b=3时,9543+a故a3, 符合条件的有序正整数对共有3组; 当b=4时,11543+a故a1, 符合条件的有序正整数对共有1组; 当b=5时,13543+a故a1,
13、 符合条件的有序正整数对共有1组; 综上所述，符合条件的有序正整数组共有7+4+3+1+1=16组. 二 解：如图，过E作EGAD于G，过F作FH AD于H 则DFHRtEDGRtDFHEDG=, 设EG =x，DG =y，则DH=x，FH=y，且 ) 1 (122=+ yxAEGRtQ则AFHRtAHAG FHEG=即xy yx +=55化简为 ，由(1)、(2)知 )2()(522xyyx=+) 3(51= xy 由知)(2)()(2222yxxyyx+=+2)(yx+2549 2512=即有 )4(57=+ yx 由(3)、(4)知54,53=yx 又AEGRtAGEG ADCDACDR
14、t=, 故75545535= =AGEGADCD， 所以7102= CDBC。 三 解：(1)连接OE，OF，O1A，O1E， ABCD为平行四边形, ECFABE= 又 点O、O1分别为CEF、ABE的外心，OE=DFO1A=O1E =ABEECFEOF22,1EAO于是OEFEAO1 11,OEOAEOOEF、=三点共线 (2)解法一：连接OD，OC, ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF=, 又点O为CEF的外心OCFOCEOCOFOE=, OCDOEBOCFOFCOEC=, 又DCABEBAEBEADBAE=, OEBOCDOBODOBEODC=,ODBOBDOBCODC=, BDAODCCBDOBCOBD+=+=OBDABCBDOADC= ABCOBD=21解法二：连接OD，OC, ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF=, 又 点O为CEF的外心OCFOCEOCOFOE=, ,OCFOFCOECOCFOCE= OCFOCEOCOFOE=, ,OCFOFCOECOCFOCE= OCDOEB= DCABEBAEBEADBAE=, OEBOCD, OBEODC= O，B，D，C四点共圆, ABCFCBOCFOBD=21 21第二试(B卷
