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1、 东东 南南 大大 学学 考考 试试 卷卷 （ A 卷） 课 程 名 称 近世代数 考试学期08-09-3 得分 适 用 专 业 数学系各专业 考 试 形 式闭卷 考试时间长度 120 分钟共共 页页 第第 页页 一、填空(每空 2 分, 共 20 分). 1. 设 K 为给定的正方形, 则 K 的对称群中一共有_8_个元素. 2. 设群 G = a, b, c, 其中 a2 = a, 则 b1 = _c_. 3. 在 3 元对称群S3中, (123)1 = _(132)_. 4. 设群G中元素a的阶为 10, 则a2的阶为_5_, a3的阶为_10_, a1的阶为 _10_. 5. 设Z Z
2、为整数环, nZ Z. 则当 n _为素数_时, n生成的理想是素理想, 当 n _为素数_时, n生成的理想是极大理想. 6. 在复二次数环Z Z5 中, a + b5 为单位的充分必要条件是_a = 1, b = 0_. 7. 设域 F 中共有 n 个元素, 且 n 为偶数, 则 F 的特征为_2_. 二、判断(每题 2 分, 共 10 分. 在正确的后面划“”, 错误的后面划“”.) 1. 设 p 为正的素数, G 和 H 都是 p 阶群, 则 G 和 H 一定同构. ( ) 2. 若 H1, H2都是群 G 的子群, 则 H1H2, H1H2都是 G 的子群. ( ) 3. 设是群 G
3、 到群G上的满同态, S是G中指数为 2 的子群, 则 S = s G | (s) S为 G 的正规子群, 且 Ker为 S 的正规子群. ( ) 4. 若整环 R 中只有有限多个元素, 则 R 是一个域. ( ) 5. x5 2 在有理数域 Q Q 上的分裂域为 Q Q(52). ( ) 三、(20 分) 设 Z Z 和 Q Q 分别为整数加法群和有理数加法群. 1. 验证 Z Z 为 Q Q 的正规子群. 证明: (1) 0 Z Z, 可见 Z Z ; (2) a, b Z Z, 有 a + b Z Z; (3) a Z Z, 有 a Z Z; (4) 因为有理数的加法满足交换律, 所以
4、a Q Q, n Z Z, 有 a + n a = n Z Z, 综上所述, Z Z 为 Q Q 的正规子群. 自自 觉觉 遵遵 守守 考考 场场 纪纪 律律 如如 考考 试试 作作 弊弊 此此 答答 卷卷 无无 效效 学号 姓名 线 封 密 2. 设: Z Z Q Q为群同态, 证明: 存在aQ Q使得对于任意的k Z Z, 有(k) = ak.证明: 令 a = (1), 则 aQ Q, 而且由为群同态可知(0) = 0, (k) = (k). 于是对于任意的 k Z Z, (1) 当 k 0 时, (k) = (1 + 1 + + 1) = (1) + (1) + + (1) = ak.
5、 k 个 1 k 个(1) (2) 当 k = 0 时, (k) = (0) = 0 = ak. (3) 当 k 0, (k) = (k) = a(k) = ak. 3. 设 : Q Q Z Z 为群同态, 证明: 对于任意的 aQ Q, 有(a) = 0. 证明: 对于任意的 aQ Q, 以及任意的正整数 n, 有a nQ Q, 因而(a n) Z Z. 又因为(a) = (a n+a n+a n) = n(a n). n个a/n 这意味着(a)能被任意正整数n整除, 故(a) = 0. 4. 问: Q Q 是否为循环群? 为什么? 答: Q Q 不是循环群. 事实上, 假设 Q Q 是循环
6、群, 则存在a Q Q, 使得 Q Q = . 显然a 0. 于是对于任意的bQ Q, 存在n Z Z, 使得b = na. 特别地, 取b =2a, 则存在n Z Z, 使得2a= b = na. 由a 0可得n =1 2, 这与 n Z Z 矛盾! 四、(10 分)证明: 整环R中, a, b为相伴元当且仅当(a) = (b). 证明: () 若a, b为相伴元, 则存在单位uR使得a = ub, b = u1a. 于是对于任意的x (a), y (b), 有x = ra, y = sb, 其中 r, s R, 从而有x = ra = rub (b), y = sb = su1a (a).
7、 可见 (a) (b)且(b) (a). 故(a) = (b). () 若(a) = (b), 则a (b), b (a), 故存在r, s R 使得a = rb, b = sa. 当a = 0时, 有b = 0 = 1a, 可见a, b为相伴元; 当a 0时, 由a = rb = rsa得rs = 1. 可见r为单位, 故由a = rb可知a, b为相伴元. 共共 页页 第第 页页 五、(20 分)设是环(R, +, , 0)的自同态. 1. 对于任意的a, b R, 验证: (ab) = (a) (b). 证明: 因为是环(R, +, , 0)的自同态, 所以对于任意的a, b R, 有
8、(ab) + (b) = (ab) + b = (a), 故(ab) = (a) (b). 2. 验证的核Ker是R的理想. 证明: (1) 因为(0) = 0, 所以0 Ker, 可见Ker非空. (2) 对于任意的a, b Ker, 有(a+b) = (a) + (b) = 0 + 0 = 0, 即a+b Ker. (3) 对于任意的a Ker, 有(a) = (a) = 0 = 0, 即a Ker. (4) 对于任意的a Ker, r R, 有(ra) = (r)(a) = (r)0 = 0, (ar) = (a)(r) = 0(r) = 0, 即ra, ar Ker. 综上所述, Ke
9、r是R的理想. 3. 证明是单射的充分必要条件是Ker = 0. 证明: () 若是单射, 则对于任意的a Ker, 由(a) = 0 = (0)可得a = 0. 可见Ker 0. 而0 Ker是显然的, 故Ker = 0. () 设Ker = 0, 则对于任意的a, b R, 由(a) = (b)得 (ab) = (a)(b) = 0, 即ab Ker = 0. 可见ab = 0, 即a = b. 故是单射. 4. 对于任意的a R, 令2(a) =(a), 3(a) =2(a), , k+1(a) = k(a), 其中k为正整数. 验证: Ker k Ker k+1. 证明: 对于任意的a
10、 Ker k, 有 k+1(a) = k(a) = (0) = 0. 因而a Ker k+1. 这就是说Ker k Ker k+1. 5. 若环R仅有有限多个理想, 且是满射, 则是同构. 证明: 因为是满射, 所以只要证明是单射即可. 由上面的第3题可知, 只要证明Ker = 0即可. 为此用反证法. 假设Ker 0, 则存在0 x Ker, 即(x) = 0. 由是满射可知存在a1 R, 使得(a1) = x. 显然a10且2(a1) = (x) = 0. 可见a1 Ker2但a1 Ker2. 因此Ker Ker 2. 对于上述a1 R, 存在a2 R, 使得(a2) = a1. 类似上面
11、的讨论可见a2 Ker3但a2 Ker2. 因此Ker 2 Ker 3. 依次类推, 可得Ker Ker 2 Ker3 共共 页页 第第 页页 共共 页页 第第 页页 这与R仅有有限多个理想矛盾! 六、(20 分)设F = 0, 1为二元域, Fx为F上的一元多项式环. f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x2 + x, h(x) = x2 + 1, k(x) = x2 Fx. 1. 指出f(x), g(x), h(x), k(x)中哪些是Fx中的既约元, 并将其余的分解为既 约元的乘积. 解: 因为Fx中的全部1次多项式只有x + 1和x, 而(x + 1)(x + 1) =
12、 x2 + 1, (x + 1)x = x2 + x, xx = x2. 由此可见f(x) = x2 + x + 1是Fx中的既约元, g(x) = x2 + x = (x + 1)x, h(x) = x2 + 1 = (x + 1)(x + 1), k(x) = x2 = xx. 2. 令K = F, = 0, 1, , , 填写下面的加法表和乘法表, 使K成为 F的一个2次扩域. + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 3. 写出K关于其加法构成的群(K, +)的所有子群, 并把群(K, +)写成循环子 群的内直和. 解: K关于其加法构成的群(K, +)的所有子群如下: H1 = 0, H2 = 0, 1, H3 = 0, , H4 = 0, , H5 = K. K = H2 H3 = H2 H4 = H3 H4 . 4. 域K是F的代数扩域还是超越扩域? 为什么? 答: 域K是F的代数扩域. 因为, 都是f(x) = x2 + x + 1的根.
