《具有BMO系数椭圆型方程在对数空间正则性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《具有BMO系数椭圆型方程在对数空间正则性（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要本文主要利用王立河和S B y u n 的方法研究了两类具有小B M O 系数的椭圆型方程( 散度型椭圆方程一d i v ( A ( x ) V u ) = 疵u f 以及非散度型椭圆方程o u u 哪，=厂) 在对数空间p ( L o 夕L ) 。( Q ) ( 1 - 1 ，P 2 ，有上，I V u I P l o g a p ( 2 + l V u z c ( LI f W l 。g a P ( 2 + I f l ) 蚺ZI u I P l o g 。p ( 2 州I ) d ， ( 1 1 )其中d ：J1 _ 。，l 上L1 + 口a 01 2 ( a i t 无关) ，使得
2、如果V u L p l l o c ，贝, U V u 圪。，其中Q 7 2 1 ，并给出了梯度估计。同时也给出了非线性散度型椭圆方程的一阶扩梯度估计，定理如下：定理1 1 设q R ，q p ，则存在一个 O ，使得如果l i i i p - 2 f a ( x ，) l I 蚓p - 1成立，则散度型椭圆方程d i v a ( x ，V u ) = o的解U W 1 , p 同时也满足w 1 一。其中，非线性函数a ( x ，) Q R ”斗R “。随后在1 9 9 9 年M A R a g u s a 在 1 3 】中给出了具有低阶项系数的椭圆方程一d i v ( A V u ) + b
3、 i u 甄一( d i u ) x i + C i t = ( f j ) z ，Ia i j ( z ) V M O n L ”( 舻) a i j ( x ) = a j i ( x )【A - 1 l 1 2 乙n 巧( z ) 已白A K l 2( 1 4 )( 1 5 )立成、E，、d在e口nn22LLn ，=R了了乱仉gVVV8具有B M O 系数的椭圆型方程在对数空间的正则性以及玩，d i L 7 ( Q ) ，其中r = 几1 几P = n，r = P P nc L i ，且假设C 0 。定理1 2 设，b i ，也，c 满足上述假设条件I ，f 护( Q ) “，1 。专丘
4、施，n nI f ( 训p 咖 o ) 是方程一d i v ( A ( x ) V u ) = d i v f = ( 五) 甄的一个弱解，如果对V 妒础( B R ) 有下式成立I s A V u V p d x = - 丘R 吼妣( 2 2 )定义2 3 称矩阵A 为一致椭圆的，如果存在一个正常数人，使得对o e 的z R ”有礼人一1 I 引2 a i j ( z ) 已岛a l g l 2 , V ( 2 3 )一致椭圆的条件保证了矩阵A 的每个元素。巧为一致有界的。定义2 4 称系数矩阵A 具有( 6 ，R ) 消失性质或小B M O 性质，如果有下式成立。强恶网1Z ，I 讹) 一
5、才酬I e d y ( 2 4 )定义2 5 设乱是郧中的局部可积函数，其H a r d y L i t t l e w o o d 最大值函数( M u ) ( z ) 定义为( M u ) ( z ) = s r 0 u p 高k ) I u ( y ) ( 2 5 )同样我们有时根据需要把( 乱) ( z ) 记作( M u ) ( Q ) ( z ) ，其中为区域Q 的特征函数，其实最大值算子是弱( 1 ，1 ) 型的，以及强，p ) ( 1 t l 7 ( J l I f t d x ；( 2 6 )第二章预备知识1 3( 2 ) 若f 驴( 彤) ，P 1 ，贝1 M f 驴( 彤
6、) 且M f l I L 一( R n ) Q I I 刑护( 舻) ( 2 7 )其中两式中的C ，Q 都是与，无关的常数，( 2 6 ) 式称为极大函数的弱1 1 估计，式( 2 7 ) 称为极大函数的强P p 估计。我们下面来介绍两个关于测度方面的定理。定理2 2 厂是Q 上的可测函数，口 0 与m 1 是两个常数，则对V O p 舻) I 全：S O 仅依赖于0 ，m 与P 。定理2 3 ( V i t a l i ) 设C 为一族R “上的开球，记U = U B c B ，则对任意的可测集ECU ，存在互不相交的 鼠) 墨1cU ，使得ECU i 3 鼠，且l E I 3 “tI B
7、 i I ，其中3 B i 是与B i 同心半径为3 r & 的球。我们将利用下面一个定理，即定理2 3 的一个变形形式来证明V u 的估计式。引理2 1 ( M o d i f i e dV i t a l i ) 设c r 与D 是可测集，CcDCB l ，且存在一个E o ，使得I c o ，使得得I CnB r ( x ) I 1 ) 的一些性质。对V a O , a 1 a 2 0 ，有1 L P ( L o g L ) 一。( Q ) ，L P ( L 0 9 L ) 。( Q ) 是B 凸n o c 九空间第二章预备知识2 I _ 2 ( L o g L ) 0 1 ( Q )
8、cI _ 2 ( L o g L ) 。( Q ) ；3 L 2 ( L o g L ) 。( Q ) cL pc1 , 2 ( L o g L ) ( Q ) ；4 ( p ( L 。g L ) 。( Q ) ) 7 = 驴7 ( L o g L ) 一。( Q ) ，其中；+ 专= 1 ；我们可以用分布函数的知识来描述驴函数，即! ：I ，f p d z = Z D 。入( a ) d 口p ，其中A ( Q ) = l z Q ：I ，( z ) I 同样对于V 夕1 2 ( L o g L ) 。( Q ) ，有三I 夕l P l o g a p ( 2 + i 夕I ) d z =
9、Z 。入( Q ) d ( o c pl o g a p ( 2 + Q ) ) ( 2 1 5 )进一步利用( 2 1 5 ) 式来研究极大算子M 在口( L D 夕L ) 。( Q ) 上的性质。引理2 2e 2 f L P ( L o g L ) 。( Q ) ，2 a l d ( a P l o g n p ( 2 + a ) )f o o o1 z Q ：M i l l 2 O z 2 l d ( o ! Pl o g 印( 2 + Q ) )= FI x Q ：( M l f l 2 ) a I ) d ( 乜p l o g 印( 2 + ) )= f Q ( M l f l 2
10、) 兰l o g 叩( 2 + ( M l f l 2 ) ) 如再证明右式成立，采用将_ 厂截断成两个函数的方法。令 c z ，= 2 ) Il z Q ：M f l ；及2 )曼甭Cl n | l d z= c a 。J 1 伦罟I f l 2 d x 其中( 2 1 7 ) 式的第二个不等式为M 的弱l 一1 性质。所以，f a ( M f 2 ) 呈l o g 印( 2 + ( M I ，1 2 ) ) d z = f oI M I ，1 2 a 2 t d ( a pl o g 印( 2 + Q ) )而，詹I ，I - 壶d ( o Y1 。g 印( 2 + Q ) )f 参见l
11、詈I f 2 d z d ( c r Pl 。g 印( 2 + ) )c 厶I f l 2 后l ，I 壶d ( d pl o g 。P ( 2 + ) ) 出C f t v - 2l o g a P ( 2 + I ，I ) + 2f ：l ，Io P - 3l o g 印( 2 + a ) d 由L h o s p i t a l 法则可知，当t _ 0 与。时，函数极限存在，从而即譬。p - 3l o g 印( 2 + Q ) d at v 一2l o g g Y ( 2 + t 1r 2 1 f 1 o ，p 一3l o g 印( 2 + a ) d a c l f t p 一2l o
12、 g 印( 2 + I f l ) ， J 0第二章预备知识( M l f l 2 ) l o g a n ( 2 + ( M l f l 2 ) ) d z C I f l P l o g 。P ( 2 + I f l ) d xJ QJ Q引理2 3 设N l ，1 o ，则对f L P ( L o g L ) 。( Q ) ，有喜州z 删I ，1 2 巧2 N 2 k I 吕加l o g 即圳出七= 1。“证明：由引理2 2 知c 厶I f l p l o g 印( 2 + I f l ) d x f Q ( M l f t 2 ) 暑l o g 印( 2 + ( M t f l 2 )
13、 ) d zf Q ( M f 1 2 ) 兰l o g 印( M l f l 2 ) 如为了方便，我们记l 鼠l = I z Q ：则原式伊I M l f l 2 6 2 Q 2 水( ( 6 Q ) pl o g 印( 6 ) ) M l f t 2 Q 2 = 正产I 磊口l d ( ( 6 a ) pl o g 印( 6 d ) ) = 铲5 P o r pl o g 印( 6 乜) ) d ( 一I 鼠口I )当a 1 ，1 0 ，则fe L p ( 蛔矿。( Q ) 兮k 昭篱丽I 虱t I 全Q O ，使得矩阵A ( z ) 是对称的一致椭圆的，以及具有瓶R ) 消失性质，如果乱
14、是散度型方程一d i v ( A ( x ) V u ) = d i v f 在Q 内的弱解，则对v Q 7c cQ ，有V u 1 2 ( L o g L ) o ( Q ，) 进一步，如果o - 1 ，P 2 有。上， V 札I p l o g 印( 2 + I V u l ) d z 冬c ( 上I 厂| p l 。g 印( 2 + I f l ) 出+ 上I u I p l 。g 叩( 2 + 川) 出) d ， f 3 1 1其中d = a 0 ，C 为与f ，u 无关的常数。其实由对偶性的讨论，我们只需要证明当P 2 ( a 1 ) 成立即可有单位分解以及紧性方法只需要证明Q =
15、B 。，Q = B 6 时( 3 1 ) 式成立即可，所以我们只需要证明下面的定理。定理3 1 17 设2 0 ，使得矩阵A ( z ) 是对称的、一致椭圆的，以及具有( 6 6 ) 消失性质，如果钆是散度型方程一d i v ( A ( x ) U u ) = d i v f 在B 6 内的弱解，则有V u L P ( L o g L ) o ( B 1 ) ，进一步，如果a - 1 ，P 2 有具有B M O 系数的椭圆型方程在对数空间的正则性厶I V u l l o g a p ( 2 + l V u l ) d x 0 忙1 击一1 1 ，使得对任意的E o ，存在一个小巧= 占( E ) o ，使得散度型椭圆方程一d i v ( A ( x ) V u ) = d i v f 在QDB 6 中的弱解U 满足B 1n z Q ：M l W l 2 1 ) n z Q ：M l f l 2 6 2 ) 仍，( 3 3 )且A 具有( 6 ，6 ) 消失性质，则I z B 1 ：M l W l 2 N 2 I 0 ，存在6 0
