《光子问答精选[10]浅谈构造法求数列{n^2}的前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《光子问答精选[10]浅谈构造法求数列{n^2}的前n项和（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、光子问答精选10浅谈构造法求数列?n2?的前n 项和光子问答精选10浅谈构造法求数列nn2o的前n项和问题求证：数列n2的前n项和为n(n + 1)(2n + 1) 6.提问者：杨阳 2016-09-06 09:01分析问题实际上就是求nPi=1i2的值.可以根据熟悉的等差数列求前n 项和（倒序相加法）及求通项(累加法)的方法，对问题进行合理构造进行求解证明方法一： “汉堡包”法（解答者：意琦行）我们先将1个1， 2个2， 3个3， ， n个n排列成三角阵，然后将它分别旋转120，加上原来的那个，我们得到三个三角阵如图三个三角形做成“三明治” ，那么每个位置的和都是2n + 1，马上就可以推得
2、3(12+ 22+ 32+ + n2) = (1 + 2 + 3 + + n) (2n + 1),于是可得12+ 22+ 32+ + n2=1 6n(n + 1)(2n + 1).即 nXi=1i2=n(n + 1)(2n + 1) 6.注这种方法实际上就是我们熟知的等差数列求和之倒序相加法的加强版本啊！方法二：累加法第一种构造：利用等式n(n + 1) = n2+ n进行累加（解答者：lefoot12）1光子问答精选10浅谈构造法求数列?n2?的前n 项和因为n(n + 1) = 2C2n+1，再根据组合数的性质Cm n+ Cm1n= Cmn+1可得nXi=1i(i + 1) = 2nXi=
3、1C2i+1= 2C3n+2=(n + 2)(n + 1)n 3.又因为 nXi=1i(i + 1) =nXi=1i2+nXi=1i =nXi=1i2+n(n + 1) 2.所以 nXi=1i2=(n + 2)(n + 1)n 3n(n + 1) 2=n(n + 1)(2n + 1) 6.第二种构造：利用(n + 1)3 n3= 3n2+ 3n + 1进行累加（解答者：赵晚龙）因为 nXi=1(i + 1)3 i3= (n + 1)3 1,且nXi=1(i + 1)3 i3=nXi=13i2+ 3i + 1= 3nXi=1i2+nXi=1(3i + 1)= 3nXi=1i2+1 2n(3n +
4、 5).所以 nXi=1i2=1 3 (n + 1)3 1 1 2n(3n + 5) =n(n + 1)(2n + 1) 6.方法三：裂项法（解答者：lefoot12）因为n2= n(n + 1) n，而n(n + 1) =1 3n(n + 1)(n + 2) (n 1)n(n + 1),所以nXi=1i2=nXi=1i(i + 1) nXi=1i=1 3n(n + 1)(n + 2) 1 2n(n + 1) =n(n + 1)(2n + 1) 6.2光子问答精选10浅谈构造法求数列?n2?的前n 项和注上面两种方法本质上都是以裂项思想方法为依托，选取适当的多项式使其差分出要求的和式（对于一个
5、n + 1次多项式的差分，结果一定是一个n次多项式；而且一个n次多项式也一定是一个n + 1次多项式的差分） ，然后求得结果.方法四： proofs without words II （解答者：意琦行）假设平面上有1+2+3+n个小球，每个小球的质量都是1kg它们排成了一个三角形阵，具体地说，它们排成了一个倒置的、以(0,1)为顶点的等边三角形这个三角形阵作为一整个物体，它的重心的y 坐标是多少？我们有两种不同的求解方法第一种方法是暴力方法这个物体的重心的y 坐标，一定等于所有小球的y 坐标的平均值，即1 1 + 2 2 + 3 3 + + n n 1 + 2 + 3 + + n=12+ 22
6、+ 32+ + n2n(n+1) 2.另一种方法则是利用图形的对称性由对称性，整个三角形阵的重心显然应该位于这个三角形各边中线的交点上，一些经典的几何结论可以告诉我们，这个交点正好把每条中线都分成了1 : 2两段因而，这个点的y 坐标就是1 +2 (n 1) 3=2n + 1 3.这两种方法求出来的答案应该相等于是，我们得到了等式12+ 22+ 32+ + n2n(n+1) 2=2n + 1 3,3光子问答精选10浅谈构造法求数列?n2?的前n 项和得12+ 22+ 32+ + n2=1 6n(n + 1)(2n + 1).即 nXi=1i2=n(n + 1)(2n + 1) 6.练习1求数列n3的前n项和提问者：张振 2016-09-18 08:39备注：若要查阅详细的解答过程，请在光子问答APP中搜索用户名，查看用户提问的问题，找到对应时间所发的题即可4
