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1、 1 第八章第八章 单元测试单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分每小题中只有一项符合题目要求) 1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： 若，m，则m；若m，n，则mn；若，m，则m；若m，m，则. 其中为真命题的是 ( ) A B C D 答案 C 解析 为空间面面平行的性质，是真命题；m，n可能异面，故该命题为假命题；直线m与平面也可以平行也可以相交不垂直 故该命题是一个假命题； 为真命题 故选 C. 2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 ( ) A.83B.82 3C8 2 D.323答案 B 解析
2、 S圆r21r1， 而截面圆圆心与球心的距离d1， 球的半径为Rr2d22. V43R382 3，故选 B. 3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A.163 B.193 C.1912 D.43 2 答案 B 解析 设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为 2、侧棱长为 1 的正三棱柱，记上、下底面的中心分别是O1、O，易知球心是线段O1O的中点，于是 R2(1 2)2(3 2223)219 12，因此所求球的表面积是 4R2419 1219 3，选 B. 4. 如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是
3、顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 ( ) A.2 5B.3 5C.10 5D.5 5答案 C 解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点 EFGF5 2，EG2. cosEGF10 5. 5图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 ( ) A25 cm2 B.772cm2 C77 cm2 D144 cm2 3 答案 C 解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示由题意得 V131 2h5620h4. 从而易知，其外接球的半径为 r1242526277 2. 从而外接
4、球的表面积为S4r24(77 2)277.选 C. 6如下图所示，正四棱锥PABCD的底面积为 3，体积为2 2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为 ( ) A.6B.4C.3D.2答案 C 解析 连接AC、BD交于点O，连接OE，易得OEPA. 所求角为BEO. 由所给条件易得OB6 2，OE12PA2 2，BE2. cosOEB12，OEB60，选 C. 7直三棱柱ABCA1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是 ( ) 4 AAB1平面BDC1 BA1C平面BDC1 C直三棱柱的体积V4 D直三棱柱的外接球的表面积为 43 答案 D 解析 由三
5、视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为 2 的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，ODAB1，AB1平面BDC1.故 A 正确 直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点， BDAC，BD平面AA1C1C. BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B， A1B1平面B1C1CB，A1B1B1C. BC1B1C，且BC1B1C0，BC1平面A1B1C. BC1A1C，A1C平面BDC1. 故 B 正确VSABC
6、C1C122224，C 正确 此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为 12，D 错误故选 D. 8已知圆锥的底面半径为R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 ( ) A22R2 B.94R2 C.83R2 D.52R2 答案 B 5 解析 如图所示，为组合体的轴截面，由相似三角形的比例关系，得 PO1 3Rx R，PO13x，圆柱的高为 3R3x，所以圆柱的全面积为 S2x22x(3R3x) 4x26Rx， 则当x34R时，S取最大值， Smax94R2. 9二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，C
7、D2 17，则该二面角的大小为 ( ) A150 B45 C60 D120 答案 C 解析 由条件，知CA AB 0，AB BD 0， CD CA AB BD . |CD |2|CA |2|AB |2|BD |22CA AB 2AB BD 2CA BD 624282268cosCA ，BD (2 17)2. cosCA ，BD 12， CA ，BD 120，二面角的大小为 60，故选 C. 10已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为 1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为 ( ) A.1 24 B.1 18 C.19 D.1 12 答案 B 6 解析 以B为坐标原点，
8、BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设BPBD1 ，可得P(，)，再由 cosAPCAP CP|AP |CP |可求得当13时，APC最大，故 VPABC131 2111 31 18. 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上) 11已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题： 若，m，则m；若m，n，且mn，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则. 其中真命题的序号是_ 答案 解析 若，m，则m与可能相交、平行或m在平面内，故错；m，n，mn，则与可能平行，可能相交，故错 12圆台上、下底面面积分别是 、4，侧面
9、积是 6，这个圆台的体积是_ 答案 73 3 解析 上底半径r1，下底半径R2. S侧6，设母线长为l，则 (12)l6. l2，高hl2Rr23. V13 3(11222)73 3. 13(2011天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. 7 答案 4 解析 由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是 2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是 2,1,1，因此该几何体的体积 V2112114(m3) 14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为
10、_ 答案 1 解析 依题意得三棱锥PABC的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥PABC的主视图与左视图的面积之比等于 1. 15 直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上 若ABACAA12， BAC120，则此球的表面积等于_ 答案 20 解析 设球心为O，球半径为R，ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在ABC中，ABAC2，BAC120，ABC12(180120)30， AMAC 2sin302.因此，R222(AA1 2)25，此球的表面积等于 4R220. 16如图是一几何体的平面展开图，其中
11、ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： 8 直线BE与直线CF异面； 直线BE与直线AF异面； 直线EF平面PBC； 平面BCE平面PAD. 其中正确的有_个 答案 2 解析 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD ，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC 平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
12、算步骤) 17(本小题满分 10 分)下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2. (1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥BCEPD的体积 解析 (1)该组合体的三视图如下图所示 (2)因为PD平面ABCD，PD 平面PDCE， 9 所以平面PDCE平面ABCD. 因为四边形ABCD为正方形， 所以BCCD，且BCDCAD2. 又因为平面PDCE平面ABCDCD，BC 平面ABCD， 所以BC平面PDCE. 因为PD平面ABCD，DC 平面ABCD， 所以PDDC. 又因为ECPD，PD2，EC1， 所以四边形PDCE为一个直角梯形，其面
13、积 S梯形PDCE12(PDEC)DC1 2323. 所以四棱锥BCEPD的体积 VBCEPD13S梯形PDCEBC13322. 18(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点 (1)证明：PB平面ACM； (2)证明：AD平面PAC； (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值 解析 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点 又M为PD的中点， 所以PBMO.因为PB平面ACM，MO 平面ACM， 所以PB平面ACM. (2)因为
14、ADC45，且 ADAC1， 所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD， AD 平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC. 10 (3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MN12PO1.由PO平面ABCD， 得MN平面ABCD， 所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角 在 RtDAO中，AD1，AO12，所以DO5 2.从而AN12DO5 4.在 RtANM中，tanMANMNAN1 5 445 5，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为45 5. 19(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB4，PA3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC平面PCD. (1)求证：AG平面PEC； (2)求AE的长； (3)求二面角EPCA的正弦值 解析 (
