行星谐和定律的形成与影响

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1、 - 28 - 行星諧和定律的形成與影響 姚 珩 國立臺灣師範大學 物理系 摘摘 要要 克卜勒在尋找行星角速率在比例上之音律關係時，形成了行星軌道半徑與公轉週期間的諧和定律，並計算出各個行星的離心率。他的工作將天文學、物理學與數學，做了緊密的結合，開創了物理學新的研究方法，也奠定了物理學論證的基本形式。 關鍵詞：關鍵詞：天文學、行星諧和定律、克卜勒、科學史、科學哲學。 一、前言一、前言 一般學生在學習克卜勒 (J. Kepler，1571-1630) 第三定律 或稱行星諧和定律時，大都是由教科書所提供的行星軌道半徑、及公轉週期的觀察資料開始著手，然後去檢視軌道半徑立方與週期平方之比值，的確可得

2、出為一個常數，如表 1 所示。藉此而知，上述稱為諧和定律的內涵確實為真 (國立台灣師範大學科學教育中心，1995 )。 表 1：行星軌道的觀察資料 行星 軌道半徑 公轉週期 R3 /T 2 R (106公里) T (天) (1019公里3/天2) 水星 57.9 88 2.509 金星 108.2 224 2.509 地球 149.6 365 2.509 火星 227.9 687 2.508 木星 778.3 4333 2.509 土星 1427.0 10760 2.510 如果 諧 和定 律 被發 現 的 實情 真 是 如此，學生將很難體會克卜勒的貢獻到底在哪? 因為由表 1，一般人均可看出

3、，行星軌道半徑增大時，對應的週期也會隨著變大。若彼此不是成一次方比，也不是成平方比，很自然地便會去測試是否會成 3/2次方比? 這麼淺顯數學關係的提出，怎麼就能使克卜勒成為一位傑出的科學家? 另一方面，克卜勒早在 1604 年左右，就已同時發現了非常艱深的行星橢圓定律與面積定律 (Kepler，1609; 姚珩和黃秋瑞，2003; 姚珩，2004 )，為何還需花費十年之久的時間，才於 1619 年提出現在看似簡單的第三定律 (Kepler，1619)? 諧和定律背後代表的到底是什麼意義? 回 溯 當 哥 白 尼 (N. Copernicus ，1473-1543) 於 1543 年提出日心說時

4、，他首先規定了 6 顆行星的相關位置，並獲得各行星環繞太陽的公轉週期，但他從未也無法自觀察資料中，推知這些行星與太陽之間正確的實際距離 (哥白尼，1543)。到了克卜勒時期，即使累積了第谷 (Tycho Brahe，1546-1601) 大量的精確資料，他仍然僅能知相鄰二行星間之距離比。在沒有表 1 各個行星軌道半徑的詳細資料下，行星諧和定律的形成與影響 - 29 - 克卜勒卻能尋找出宇宙裡行星間某些特殊的規律，這種在兩個變數之間建立起數學關係的構想，是那時代的人全然不曾有過的想法 (Bell，1945)。不僅如此，他還能更進一步清晰地算出，每個行星的離心率即行星的橢圓軌道與正圓軌道到底有多大

5、的偏差程度，這則不是任何人僅觀察表 1 就可獲得的結果。在這十二年中，克卜勒所建立的全新概念與所使用的運算方法，都是科學發展史上的創舉。 二、年輕時的宇宙觀二、年輕時的宇宙觀 克卜勒在 25 歲時所完成的第一部著作宇宙奧秘(Kepler，1596) 中，為了要解釋宇宙裡為何恰有 6 顆行星，並想推導出與觀測值符合的行星之間的距離比例，而提出了他獨創的幾何模型：以太陽為圓心，自一小球形開始，外切一正多面體 (每邊每角均同)，然後外接第二球體，再外切另一正多面體，逐漸擴充。每個行星按照排列順序，由小而大分別落在對應的球體上，如表 2 所示 (eKoyr ，1992，p147)。 在表 2 中可看出

6、，由幾何模型所算出的球體相對半徑比，與哥白尼的行星軌道比值，相當吻合。克卜勒非常高興地說： “我從這個發現中得到的高度愉快是無法用言詞表達的，我不再懊悔時間浪費，也不厭倦工作，我不避開計算的勞苦，我日日夜夜都消磨於推演計算之中。” (Kepler，1596) 24 年後，在累積了第谷精確的資料，及發現橢圓與面積定律後，克卜勒知道上述幾何模型有所偏差，他回顧著說：“如今，這二十年來天文觀測已非常精準，但正多面體間的距離比與觀測不符，而各行星離心值的非平分特性，其理由為何，亦未顯示。顯然：在宇宙的結構中，我一直尋找的只是石塊，或適合於這些石塊的典雅形式而已。卻不知至大的設計者，是以靈性物體之清晰形

7、象來構造宇宙。故漸漸地，尤其在過去三年中，我來到了諧和關係（I came to Harmonies），並且放棄了正多面體之方案。諧和關係不是由手安置，亦非呈現行星個數及彼此之間隔，它提供了正多面體所不能給予的離心率。好比它給了一幅雕像，鼻、眼及各部細微成分，但正多面體模型，只粗略描述其外觀容量而已。為了要讓身體得到生命必需之器官，或讓雕像獲得生命形象，他們必須能產生出必要的和諧，如此方能更傾近天體運動之美。” (eKoyr ，1992，p342 ) 雖然 克卜 勒的 正多 面體 模型 並未 成功，但他已是當時整個歐洲大陸，對哥白尼學說及天文學內容，了解最熟悉與認識最深刻的年輕學者。且他一心想理

8、解行星間距離的比例，並尋找出某種諧和關係的理想，最後被證明出是一種極為正確的遠見。 科學教育月刊 第 290 期 中華民國九十五年七月 - 30 - 表 2：克卜勒在宇宙奧秘一書中的幾何模型 模型半徑比 哥白尼觀測到二行星間距離比 球 水星 707 正八面體 (Octahedron) ： 7.23 球 金星 1000 795 正二十面體 (Icosahedron) ： 7.94 球 地球 1000 795 正十二面體 (Dodecahedron) ： 7.57 球 火星 1000 333 正三角錐體 (Tetrahedron) ： 3.33 球 木星 1000 577 正立方體 (Cube)

9、： 6.35 球 土星 1000 三三 、角速率與諧和定律、角速率與諧和定律 一如畢達哥拉斯 (Pythagoras，585 - 497 B. C.) 認為，要描述自然的真實性，欲掌握物體的本質，便是要能透視它們背後，所呈現的精髓數 (卡西勒，1994)。好比七弦琴上奏出低音與高音 Do，在他們的弦上必會有 2：1 之弦長關係，克卜勒認為在天際之中，必定也會存在著某種特定的和諧關係。在觀察土星於遠日點與近日點處，一天內，分別移動了641 及512 ，故在世界的和諧(Kepler，1619) 第 3章命題 11，敘述著：“土星的遠日點與近日點之運動比值為 4：5，是大調三度音程。” 克卜勒在此所

10、言之運動 (motion)，亦即現代所説的角速率，代表行星每日運轉前進的角度。他是首位對此角度給予一術語，並將此術語形成概念，來進行討論的科學家。命題 15，則言 (如表 3)：“火星地球、地球金星與金星水星之近日遠日點處之運動比值分別為諧和率 2：3 （五度音程） 、5：8（小調六度音程）及 3：5（大調六度音程） 。” 公理 4 亦言：“行星有不同的離心率，與不同的運動值，因此它們與太陽必會有不同的距離。” (Stephenson，1994，p188) 克卜勒開始尋找行星之間，所有可能的特性。在世界之和諧第 3 章第 8 節裡提到了其歷程與結果：“在使用了第谷的觀測及長時間的努力，而決定出

11、各行星軌道區間的距離後，終於，我得到了各行星週期之間的真實關係。假如你問我是什麼時候發現它的，我會說是在 1618 年的3 月 8 日，但當時並沒有計算成功，我認為錯誤而放棄了它。然而，在 5 月 15 日時，這個全新的想法又回到我的腦海中，有如排山倒海似地，克服掃除了我心靈中的陰霾，並且與 17 年來花費在第谷觀測上的計算及我目前的研究，如此和諧地相互呼應著。起初我以為是在作夢，或只是預設它為一個可接受的原理（principle），但最終它卻是不容置疑地真實且正確的：任意兩個行星的週期，與他們的平均軌道半徑有3/2 的比率關係（the periodic times of any 行星諧和定律

12、的形成與影響 - 31 - two planet are in the sesquialteral ratio to their mean distances of the orbits.）” （Kepler，1937，VI，p302; eKoyr，1992，p338） 克卜勒並沒有把他的推導過程紀錄下來。eKoyr認為克卜勒不可能是以試誤法 (trial and error) 得知此關係，應較可能是分別從，對同一行星而言：由距離規則所述(Kepler，1609; 姚珩和黃秋瑞，2003 )，劃過固定弧長所需時間，與至太陽距離成正比，即 T R; 與對不同行星而言：假定為等速率圓周運動，則 v

13、 2R/T，又由距離規則 v 1/R，故 2R/T 1/R 或 T R2，得到一些線索。既然，此兩種比率關係皆是錯誤的 (與觀測數據比較 )，或許可以嘗試中間值 3/2 這個比率，即 T R3/2 或 T 2 R3，對所有行星來說，應會等於唯一相同值 (eKoyr，1992 )。 但對克卜勒而言，行星軌道為橢圓而非正圓，那麼他所謂橢圓軌道的平均半徑是什麼意思? 另外，如何自相鄰二行星間之軌道距離之相對比值，獲得所有行星軌道合理精確的絕對比值? 都是克卜勒所要面對的問題。若是眼前的觀察數據，都還未被整理出正確的數值時，要能判斷出半徑與週期之間嚴格的數學規律，是極不可能的。 表 3：各行星的日(diurnal) 運動 (或角速率) 之間的諧和比率 日運動 兩行星間之諧和音律 同一行星間之諧和音律 土星 遠日點：641 a. a：b4：5 (大調三度音程) 近日點：512 b. a：d1：3，b：c1：2 木星 遠日點：034 c. c：d5：6 (小調三度音程) 近日點：035 d. c：f1：8，d：e5：24 火星 遠日點：4162 e. e：f2：3 (五度音程) 近日點：183 f. e：f5：12，f：g2：3 地球 遠日點：375 g. g：h15：16 (半音程) 近日點：8116 h g：k3：5，h：i5：8 金星 遠日點：0549 i. i：k24：25 (雙箭