第五章控制系统的稳定性分析

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1、第五章 控制系统的稳定性分析5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据 5.4 乃奎斯特稳定性判据(Nyquist判据) 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性5.1 系统稳定性的基本概念稳定的定义:如果一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡 状态,而当扰动取消后,经过充分长的时间,这个系统又能 够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳 定的.否则,称这个系统是不稳定的.实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上.这 样,在干扰消失的时刻,系统与平衡状态的偏差可以看作是系

2、统的 初始偏差.因此,控制系统的稳定性也可以这样来定义:若控制系统 在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移, 逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳 定;否则,称该系统为不稳定的.5.2 系统稳定的充要条件设系统的微分方程为:式中：xi(t)输入，xo(t)输出 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）+系数(取决于初始条件)上式右边第一项为对应与由输入引起的响应过程。 第二项为对应于由初始状态引起的响应过程。时域表达式为：前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。时域表达式为：

3、线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根 都具有负实部.系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭环传递函数极点全部在s平面的左半面.可见,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、 参数),与系统的输入信号无关.(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增 长; (2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发 散的周期振荡; (3)上述两种情况下系统是不稳定的. (4)如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在 任何状态下平衡,称为随遇平衡状态; (5)如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称 为临界平衡状态(或

4、临界稳定状态).稳 定 区不 稳 定 区临 界 稳 定S平面从控制工程的角度认为临界稳定状态 和随遇平衡状态属于不稳定.解系统特征方程的根:系统稳定的充要条件是系统特征方 程的所有根,或闭环传递函数的所有极点均严格位于S平面 的左半平面.阿贝耳定理:五次以及更高次的代数方程没有一般的代数 解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根 的方法).5.3 代数稳定性判据代数判据法:根据特征方程的系数来判断特征方程根的实部符号,从而判定系统的稳定性,常用方法有Routh判据,赫尔维茨判据.几何图形的稳定性判据法:根据开环系统的乃氏图和Bode图来判断闭环系统的稳定性,常用的方法有Nyquist

5、稳定判据,Bode判据.5.3.1 劳斯稳定性判据 (Routh判据)这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立.设系统特征方程为s1, s2, ,sn为系统的特征根.(一)系统稳定性的必要条件展开得根与系数的关系:要使全部特征根均具有负实部,就必须满足以下两个必要条件:(1)特征方程的各项系数都不等于零;(2)特征方程的各项系数的符号都相同.要使全部特征根均具有负实部，必须满足：（1）特征方程的各项系数都不等于0，a i 0 (i=0，1，2，n) （2）特征方程各项系数a i 的符号都相同。a i一般取正值，则上两条件简述为 a i 0必要条件！根据这一原则,在判别系统的稳定性时,可首先检

6、查系统特征方程的系数是否都为正数.假如有任何系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳定的.假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做进一步的判别.因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件.(二)劳斯稳定性判据1.充要条件:如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正,则系统稳定.2. 劳斯阵列表:按此规律一直计算到n-1行为止.在上述计算过程中,为了简化数值 运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论.直至其余bi项均为零.第一二行由特征方程的系数直接给出例5-1 设控制系统的特征方程式为试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性.考察阵列表第一列系数

7、的符号.假若劳斯阵列表中第一列系数均 为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于根平面的 左半平面.假若第一列系数有负数,则第一列系数符号的改变次数 等于在右半平面上根的个数.即:实部为正的特征根数劳斯阵列 中第一列的系数符号改变的次数.s4 1 17 5 s3 8 16 0 s2 15 5 s1 40/3 0 s0 5(2)列写劳斯阵列表如下劳斯阵列第一列中s 系数符号全为正,所以控制系统稳定.(1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的 必要条件.解:例5-2 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性.2)排劳斯阵列解:1)从系统特征方程看出,

8、它的所有系数均为正实数,满足 系统稳定的必要条件.s4 1 3 3 s3 2 4 s2 1 3 s1 -2 s0 3第一列系数改变符号2次,闭环系统的根中有2个实部为正, 控制系统不稳定.对于特征方程阶次低(n3)的系统,劳斯判据可简化:二阶系统特征式为 a0s2+a1s+a2 劳斯表为s2 a0 a2 s1 a1 s0 a2故二阶系统稳定的充要条件是a00, a10, a20三阶系统特征式为a 0 s 3 + a 1 s2 + a 2s + a3 劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是a00, a10, a30且a1a2a0a3s3 a0 a2 s2 a1 a3s1s0 a3例5-3 设某反馈控

9、制系统如下图所示,试计算使系统稳定的K值范围.解: 系统闭环传递函数为特征方程为 s 3 + 3 s2 + 2s + K =0根据三阶系统稳定的充要条件,可知使系统稳定须满足:故使系统稳定的K值范围为 00系统稳定的充要条件: 主行列式n及对角线上各子行列式1,2 n-1均0,即:有时称主行列式n为赫尔维兹行列式.可以证明劳斯判据和赫尔维茨判据是等价的,即例5-7: 设控制系统的特征方程式为s4+8s3+17s2+16s+5=0 试用赫尔维兹判据判断系统的稳定性.解: 由方程系数可知满足稳定的必要条件.各系数排成行列式及各阶子行列式40故该系统稳定.5.4 乃奎斯特稳定性判据劳斯稳定性判据的不

10、足: 必须知道系统的闭环传递函数 定性不能从量上判断系统的稳定程度 对含有延迟环节的系统无效 不能对改善系统稳定性给出提示Nyquist及Bode稳定性判据几何判据根据开环频率特性判断闭环稳定性5.4.1 映射定理线性系统传递函数的一般形式:映射定理表达的是s平面上一条封闭曲线,经过F(s)的映射,在F平面上所具有的特性.即sF(s).辐角定理:对于一个复变函数式中zi(i=1,2,m)为F(s)的零点, pj(j=1,2,n)为F(s)的极点.柯西辐角原理: S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点.当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时,在F

11、(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈.N, Z, P的关系为: N=ZP.示意图若N为正,表示CF顺时针运动,包围原点;若N为0,表示CF顺时针运动,不包围原点;若N为负,表示CF逆时针运动,包围原点.函数F(s)是复变量s的单值函数,s可在整个S平面上变化,对于其上 每一点,除有限(n)个极点外,函数F(s)都有唯一的一个值与之对应.例 设: 对于一个复变函数F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面.其中S平面上的全部零点 都映射到F(s)平面上的原点;S平面上的极点映射到F(s)平面上时 都变成了无限远点.除了S平面上的零、极点之外的普通点,映射 到F(s)平面上是

12、除原点之外的有限点.注意,虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的,然而 逆过程往往并非如此.例如已知 这个函数在有限的S平面上除S=0,1, 2以外均解析,除此三点 外,S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点,但是F(s)平面 上的每一个点在S平面上却有三个映射点.最简单的说明方式就是 将方程改写成.例设: ,当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线,从(-1，j1)到(-1，j0),映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0), 相角的变化为:在这种映射关系中,有一点是十分重要的,即:不需知道围线CS的确切形状和位置,只要知道它的内域所包含的零点

13、和极点的数目,就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次;反过来,根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数,也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息.sF(s)的映射1. F (s) =sz z为复数 如果C不包围z, 则C顺时针方向运动, 但不包围原点C 不包围z 如果C 顺时针包围z, 则C 顺时针包围原点1圈.C 包围z2. 如果C顺时针包围z个零点,那么C顺时针绕原点转z圈3. 如果C不包围p, 则C顺时针方向运动,但不包围原点如果C顺时针包围p, 那么C 逆时针包围原点1圈.4. 如果C顺时针包围p个极点, 那么C 逆时针绕原点转p圈F(s)有m个零点,n个极点

14、,在s平面上的C顺时针包围了其中的z个零点和p个极点,则在F平面上的C顺时针包围原点z p圈.映射定理5.4.2 乃奎斯特稳定性判据令开环传递函数则闭环传递函数假设C曲线顺时针包围整个s平面的右半平面,其中包围F(s)的z个零点和p个极点,则映射到F(s)平面的C曲线顺时针包围原点N=z-p圈.闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0分子是闭环传递函数 的特征多项式分母是开环传递函数 的特征多项式F(s)右零点个数为0C曲线逆时针包 围原点的圈数为 开环传递函数的 右极点个数pC曲线包围F(s)的右零点个数z=0假设闭环稳定,闭环右极点个数为零,C顺时针包围原点的圈数为零,而逆时针包围原点的圈数=

15、开环右极点个数.这就是闭环稳定的充要条件.闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0F(s)右零点个数为0C曲线逆时针包 围原点的圈数为 开环传递函数的 右极点个数pC曲线包围F(s)的右零点个数z=0这里需要解决两个问题:1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线,并且它是满 足柯西辐角条件的?2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N,并将它和开环频 率特性Gk(jw)相联系? 正虚轴：第1个问题:先假设F(s)在虚轴上没有零、极点.按顺时针方向做一 条曲线包围整个s右半平面,这条曲线又叫D曲线.它可分为三部分: 右半平面上半径为无穷大的半圆: 负虚轴：F(s)对原点的包围,相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围;即映射曲线F(s) 对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样.第部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1;F(s)的极点就