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1、第四章 插值方法 4.0 引言4.1 多项式插值问题的一般提法 4.2 拉格朗日(Lagrange)插值4.3 差商与差分及其性质4.4 牛顿插值公式4.5 分段插值法4.6 三次样条插值4.7 曲线拟合的最小二乘法 4.8 小结 4.0 引 言 1. 插值法插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法,它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法： A. 解析表达式 52)(3=xxxf.(1865 年,瓦里斯 Walis;1690 年,Raphson 拉夫逊;1669年,牛
2、顿 Newton;历史悠久的方程)。 yyxsin=.(开普勒(Kepler)方程)。 悬链线方程: )/cos(xy =。 B. 图象法 C. 表格法 2. 事实上，许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据1表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的甚至是不可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函数)。 3. 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作， 因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限
3、元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。 24.1 多项式插值问题的一般提法 1 插值法的概念: 假设函数y=f(x)是a,b上的实值函数， x0,x1,xn是a,b上n+1 个互异的点， f(x)在这些点上的取值分别为 y0,y1,yn, 求一个确定的函数 P(x),使之满足: P(xi)=yi (i=0,1,2,n) (1) 称x0,x1,xn为插值节点， 关系式(1)称为插值原则， 函数P(x)称为函数y=f(x)的插值函数，区间a,b称为插值区间。 插值函数 p(x)作为 f(x)的近似，可以选自不同类型的函数，如 p(x)为代数多项式、三角多项式、有理分式；其函数性态可以是光
4、滑的、亦可以是分段光滑的。其中，代数多项式类的插值函数占有重要地位： (a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定，并且仍是多项式。 (b) 著名的 Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的任何连续函数 f(x),存在代数多项式 p(x)一致逼近 f(x),并达到所要求的精度.)。 因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。 2 例题分析: 3已知函数 f(x)有如下数据 x : 0 1 2 y : 0 1 1 y: 0 1 求 f(x)的插值多项式 p(x)，并求 f(x)在 x=0.5 处的近似值。 解：解：设4 43 32 210)(xaxaxaxaaxP+=，
5、其中，为待定系数。由给定的条件有: 410,aaa?)0(0)0(0faP= ) 1 (1) 1 (43210faaaaaP=+= )2(116842)2(43210faaaaaP=+= )0(0)0(1faP= ) 1 (1432) 1 (4321faaaaP=+= 联立上式得： 41 23 490043210=aaaaa 于是， 432 41 23 49)(xxxxP+= 3906. 0)5 . 0()5 . 0(= Pf 44.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 1 多项式插值的存在惟一性: 从如下数据表着手,并假定njixxji0,， x : x0 x1 x2 xn y
6、: y0 y1 y2 yn n nnxaxaaxP+=?10)(, 使得： 求 n 次多项式P(xi)=yi (i=0,1,2,n) 。 根据插值条件，有： =+=+=+=nn nnnnn nn nyxaxaaxPyxaxaaxPyxaxaaxP?10111101000100)()()(1) 显然，这是一个关于的 n+1 元线性方程组，其系数矩阵的行列式为 naaa?,10n nnnnnnxxxxxxxxxV?111),(110010=注意到插值节点), 2 , 1(nixi?=两两相异，而0)(),( 010= M),(,)()1(baxMxfn+。 则有余项估计： + =niinxxnMx
7、R 0)()!1()(. 注注 2: 当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，由, 可知，因此，插值多项式对于次数 n 的多项式的估计是精确的。 0)()1(+xfn0)(xRn)(xLn思考思考: (1) 线性插值的余项估计： )(max8)()(102 01 1xfxxxR xxx (2) 抛物线插值的余项估计： ,),)()(6)()(202102xxxxxxxxfxR =5 例题 例例 1 已知函数 y=f(x)的观察数据为 xk 2 045 yk 5 131试构造f(x)的拉格朗日多项式Ln (x)，并计算f(1)。 解解 先构造基函数 13所求三次多项式为 L3(x)= - L
8、3(1) 例例 2 已知连续函数 f(x)=1/x，其函数表如下： x 2 2.5 4 f(x) 0.5 0.4 0.25 求方程 f(3)的值并估计误差。 解：利用 Lagrange 插值法有 1415. 1425. 005. 0)25. 0()5 . 24)(24()5 . 2)(2()4 . 0()45 . 2)(25 . 2()4)(2()5 . 0()42)(5 . 22()4)(5 . 2()(22+=+=xxxxxxxxxL故 f(3)325. 0)3(2= L。 因为 ,6)(4xxf= 83)2()(max 42= = fxf x， 故 03125. 0)43)(5 . 23
9、)(23(83 61)3()3()3(22=LfR实际误差 =3008. 0325. 031)3()3()3(22LfR。 15164.3 差商与差分及其性质差商与差分及其性质 1 差商的概念差商的概念: 1： 称0101 10)()(,xxxfxfxxf=为函数 f(x)的一阶差商； 称021021 210,xxxxfxxfxxxf=为函数 f(x)的二阶差商； 一般地，称0101 10,.,.,.,xxxxfxxfxxxfnnn n=为函数 f(x)的 n 阶差商； 特别地，定义)(00xfxf=为函数f(x)关于xo的零阶差商。 由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。
10、2 差商性质差商性质 （a） 性质 1: n阶差商可以表示成n+1 个函数值01,ny yy?的线性组合,即 ,01f xxxn= =?0011()()()(n kkkkkkkky xxxxxxxx=+?)n例: 1701 01 01( )( ) , f xf xf x xxx=010110yy xxxx=+; 0112 012 02,f xxf xxf xxxxx=01102011002122111()(yyy2)y xx xxxxxx xxxx=+0120102021012202111()()()()(yyy xxxxxxxxxxxxxx=+=+)012010210122021()()()
11、()()()yyy xxxxxxxxxxxx=+=+(b) 性质 2(对称性): 差商与节点的顺序无关。 即 0110, ,f x xf x x=， 012102021, ,f x x xf x x xf x x x=这一点可以从性质 1 看出。 (c) 性质 3:若( )f x是x的n次多项式,则 一阶差商是的 n-1 次多项式; 0 ,f x xx二阶差商01 ,f x x x是x的 n-2 次多项式; 一般地,函数( )f x的阶差商k01f , , ,kx xx?xn是的 n-k 次多项式,而时,阶差商为零。 ()knk k183 利用差商表计算差商利用差商表计算差商 利用差商的递推定
12、义,可以用递推来计算差商。 如下表： ix ()if x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0x 0()f x 1x 1()f x 01,f xx2x 2()f x 12,f x x 012,f xx x1kkk3()f xyyy+ += 23,f xx 123,f x xx0123,fxxxx如要计算四阶差商,应再增加一个节点,表中还要增加一行。 例 1:已知 ix 1 2 4 7 ()if x 0 2 15 12 计算三阶差商。 1 , 2 , 4 , 7 f解：列表计算 ix ()if x一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 0 3 2 1 4 15 13 4 7 12 -1 -3.5 -1.2
13、5 194 差分的概念差分的概念 2：定义设函数y=f(x)在等距节点), 1 , 0(niihxx?0i=+=上的函数值f(xi)=fi,其中，h为常数称作步长。称 fi=fi+1-fifi=fi-fi-1 fi=f(xi+h/2)-f(xi-h/2)=21 21+ iiff 分别为 f(x)在处以 h 为步长的一阶向前差分， 一阶向后差分和一阶中心差分。称符号、分别为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。 ix5 算例算例: 例例 已知函数 y=f(x)的数据如表中第 2，3 列。计算它的各阶差商。 k xkf(xk) 0 0.40 0.41075 1 0.55 0.57815 2 0
14、.65 0.69675 3 0.80 0.88811 4 0.90 1.20152 解解 依据差商计算公式，结果列表中。 k xkf(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 200 0.40 0.410 75 1 0.55 0.578 15 1.116 00 2 0.65 0.696 75 1.168 00 0.280 00 3 0.80 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 4 0.90 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34 利用差商的定义，可按下列图表作出差商表： 3 性质性质: (a) = =+kiniiiiiiii kxxxxxxxxxxxfxxf 011100)()()()(,.,?该性质说明： k阶差商,.,10nxxxf计算是由函数值f(x0),f(x1),f(xk)线性组合而成,且与所含节点的次序无关，通常称为差商的对称性。 如:,012201210xxxfxxxfxxxf=； 210111000101 10)()()()(,xxxf xxxf xxxfx
