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1、第三章：线性系统的时域分析法授课人：李会军中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所内容提要 本章的内容提要 系统的时域性能指标 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统时域性能指标 线性系统的稳定性 线性系统的稳态误差计算2中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所内容回顾 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应3中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所内容回顾 二阶系统的性能指标 上升时间计算公式：其中： 峰值时间计算公式：4中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所内容回顾 二阶系统的性能指标 超调量计算公式： 调节时间计算公式：5中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统示例 二阶
2、系统示例 已知系统框图如下所示，要求系统的超调量为15%，峰值时间为0.8s。试确定 系统参数 和 ，并计算系统单位阶跃响应的上升时间 和调节时间 解： 系统的闭环传递函数为：标准二阶系统传递函数如下所示：6中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统示例 二阶系统示例比较两式可得：由已知条件可知：7中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统示例 二阶系统示例所以，有：最后，可计算上升时间和调节时间：8中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 比例微分(PD)校正标准二阶控制系统框图和具有比例微分校正环节的二阶控制系统框图如图：由右图可知，带比例微分校正的二阶
3、系统的开环和闭环传递函数如下：9中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 比例微分(PD)校正继续对系统的闭环传递函数进行变换：由上可知，校正后二阶系统的等效阻尼系数和无阻尼振荡频率为：校正后系统的调节时间为上式表明，选择合适的 可以增大系统的阻尼系数，减小系统的超调量和 调节时间，提高系统的动态性能；10中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 比例微分(PD)校正校正后二阶系统的误差传递函数如下：根据终值定理，当输入信号为单位斜坡信号时，系统的稳态误差为：11中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 比例微分(PD)校正由式(2)
4、可知，增大比例项 可以减小系统的稳态误差，满足系统精度的要求 ；但是，由(1)式可知， 的增大会使系统阻尼比 减小，可以适当增大 使 得阻尼比 保持在 之间，保证系统具有较小的超调量。总之，带比例 微分校正的二阶系统，由于增加了可调节参数，从而使系统可以兼顾精度和 动态性能。从控制系统的零、极点角度来看，比例-微分控制给系统增加了一个闭环零点 ，从而改善了系统的动态特性。所以比例微分控制的二阶系统有时也称为有 零点的二阶系统。12中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 测速反馈校正(局部反馈校正) 标准二阶系统框图和具有测速反馈环节的二阶系统框图如图：测速反馈校正二阶系统
5、开环传递函数如下：13中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 测速反馈校正(局部反馈校正)测速反馈校正二阶系统的闭环传递函数如下：可知，二阶系统的阻尼比为：因此，通过引入测速反馈校正，也能增大二阶系统的阻尼比，从而减小系统 的调节时间，提高系统的动态性能；14中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 二阶系统的动态校正示例 示例1：控制系统如图所示，试设计反馈通道传递函数 ，使系统阻尼 比提高到希望的 值，但保持增益及自然振荡频率不变； 解：由图可知，系统的闭环传递函数为：根据题目要求，需要保持增益和自然振 荡频率不变，所以可以取 ；此时，系统的闭环特
6、征方程为：令： 可得：15中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 二阶系统的动态校正示例 示例2：系统方框图如图所示。试分析：(1) 该系统能否正常工作？ (2) 若 要求 ，系统应如何改进？ 解：由上图可知，系统的闭环传递函数为：即二阶系统工作于无阻尼状态( )， 对于单位阶跃输入，系统将作等幅振 荡，不能正常工作。为了满足 ，即需要增大二阶系 统的阻尼比，这可以通过增加微分反馈 环节来实现，如下图所示。 改进后系统的闭环传递函数为：16中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所二阶系统的动态校正 二阶系统的动态校正示例所以，可以求得：取：求解上式，可得：上式说明：加入
7、微分时间常数为0.447 的负反馈校正环节后，系统的单位 阶跃响应将由无阻尼时的等幅振荡转化为具有0.707自然阻尼比的衰减振 荡过程。17中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 高阶系统的时域响应对于稳定的高阶系统，其闭环传递函数如下所示：其中， 是闭环零点， 是闭环极点； 如果系统的闭环极点各不相同，则系统的单位阶跃响应的一般形式如下：其中，18中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 高阶系统的时域响应 对于欠阻尼情况， 将(4)式用部分分式展开：其中， 是系统在极点 处的留数，计算如下是系统在极点 处的留数，计算如下19中国矿业大学信息与电气工
8、程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 高阶系统的时域响应分别是系统在极点 和 处的留数所以，可知 是一对共轭复数，假设20中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 高阶系统的时域响应假设则式(5)可变为21中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 高阶系统的时域响应是与 在闭环复数极点 处的留数有关的常系数 。根据常用函数的拉普拉斯变换对式(5)进行拉式反变换，可得上式表明，高阶系统的单位阶跃响应一般含有指数函数分量和衰减正、余弦 函数分量。如果系统的所有闭环极点都具有负的实部，即所有闭环极点都位 于s平面的左半平面，则系统时间响应的各暂态分量都将随时间
9、的增长而趋于 零，这时称高阶系统是稳定的。显然，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实 部的绝对值越大，也即闭环极点离虚轴越远，其对应的暂态分量衰减越快， 反之，则衰减缓慢；22中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 闭环主导极点闭环主导极点：高阶系统中，既无闭环零点靠近又距虚轴最近的极点在系统 的时间响应过程中起主导作用，称这样的闭环极点为闭环主导极点；注意：在系统的闭环极点中，如果距虚轴最近的共轭复极点附近无闭环零点 ，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该共轭复极点与虚轴距离的五倍以上时 ，则控制系统单位阶跃响应的形式主要取决于这样的共轭复极点，这样的共 轭复极点可以作为闭环主
10、导极点，忽略那些远离虚轴的闭环极点；控制工程通常要求系统既具有较高的响应速度，又必须具有一定的阻尼程度 ，往往将系统设计成具有衰减振荡的动态特性(设计成欠阻尼过程)。因此，高 阶系统的闭环主导极点多以距虚轴最近，而附近又无闭环零点存在的共轭复 极点形式出现；23中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 闭环主导极点示例三阶系统的闭环传递函数如下：系统的闭环极点为：复数极点与实数极点的实部之比：因此， 是三阶系统的闭环主导极点24中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 零极点对阶跃响应的影响 极点对阶跃响应的影响 假设有三个系统的闭环传递函数如下：这三个
11、系统有两个相同的极点 ，第二和第三个则比第一个系统 增加了一个极点。在零初始条件下，三个系统的单位阶跃响应为：25中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 零极点对阶跃响应的影响 极点对阶跃响应的影响由图可知：当系统阻尼比 不变时，随着系统增加一 个实数极点和实数极点向 虚轴方向移动，系统单位 阶跃响应的超调量不断下 降，而峰值时间、上升时 间和调节时间则不断增加。 特别是当实数极点的数值 小于或等于闭环复数极点 的实部数值时，系统将表 现出明显的过阻尼特性。26中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 零极点对阶跃响应的影响 零点对阶跃响应的影响 假设三个系统的传递函数如下：由传递函数可知，三个系统的闭环极点相同，但是零点各不相同。在零初 始条件下，三个系统的单位阶跃响应为：27中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所高阶系统的时域分析 零极点对阶跃响应的影响 零点对阶跃响应的影响由图可知：在极点相同 的情况下，具有零点的 系统，其响应速度变快， 上升时间、峰值时间减 小，但系统的超调量会 增大，并且这种影响会 随零点接近虚轴而加剧；28中国矿业大学信息与电气工程学院自动化研究所课后作业3-2、3-3、3-4、3-5、3-6、3-729
