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1、2 0 1 3 年 3 月 下 旬 ( 高 中 ) -信 息 技 带 与 课 程 整 合 I 中 小 学 数学灌 一 审蓼 = + 旦( o ) 的图像 。 l。 一 ?与 性犀教 学设计 、 反 思 、 点评 。 江苏省常州市第五 中学杨一奋 【 内容说明】 函数既是高中数学中的重要内容也是一条纽带， 函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程， 又把 中学数学的各个分支紧紧连在一起 学生在系统学习 过必修一中的指数函数、 对数函数及幂函数后， 他们 的函数知识掌握情况及函数的意识如何， 需要通过新 的函数 研究加以检验 ； 本课例选 用对勾 函数作 为研究 对象， 一是因为对勾函数作为一种常
2、见而又特殊的函 数 ， 其单调性较基本初等函数复杂 ， 同时涉及到多种 类 型( 本课时限定为研 究y= + ( a0 ) ) ， 对学生 而言有一定难度和挑战， 却也是检测学生函数意识的 较好载体 考虑到学生缺少基本不等式及导数的知识 准备， 在考察对勾 函数 的极值点 ( 本文称 为“ 转折 点” )时会遇到一定的困难， 因此选用了图形计算器 作为研究工具 【 教学目 标】 1 技术操作层面： 掌握图形计算器中“ 表格” 、 “ 图 形”、 “ 动态图形”等模块的基本操作命令 ， 能利用函 数分析等命令 自行进行数学观察和思考 2 知识 和能 力层 面 ： 拓宽 学生 的函数 视野 ， 结
3、合 基本函数的学习类 比得 出对勾 函数的研究 方案 ； 在直 观观察和理性论证中认识数学学科的两个侧面， 从而 提升数学研究能力特别是以技术为工具来研究数学 3 学习信念和方式层面： 在应用技术工具的过程 中， 从向书本学数学走向应用技术工具研究数学； 在 合作交流分享 中形成 思维 的碰撞 ， 在 质疑 、 验证 中提 升数学思维水平 的层次 【 教学重点、 难点】 教学重点： 函数图像的猜想、 验证 ， 函数单调性、 值域的归纳及验证 教学难点： 函数单调性的归纳及验证， 特别是图 像“ 转折点”的认识 【 教学过程 】 一、情境创设 ， 引 出课题 问题： 学校准备建造一个长方形花坛，
4、 面积为 1 6 平方米， 由于周围环境的限制， 每边的长度均不能超 过8米， 也不能少于 2 米 ， 求花坛的长与宽两边之和的 最小值与最大值 生 1 ： 设花坛一边长为 米 ， 则另一边 为 米 所 以长与宽之和为 + 师： 如何求 + 的最大 、 最小值? , - -t： 2 ： 可以视 + 为一新的函数， 即_厂 ( )： + 1 6， 2 ， 8 师 ： 面对一新 的函数模型 ， 我们 如何 开展研究 ? 生2： 画出函数图像， 结合图像研究性质 师： 回顾前面指对数函数及幂函数的研究过程， 可以发现从图形到性质是函数学习的基本模式， 那么 如何画 出函数图像呢? 生 3 ： 列表
5、、 描点 、 连线 生4 ： 用图形计算器 师： 两个同学的思路都很可行， 生3的思路是研究 函数采取的一般思路， 但我们应该注意到 ) ，： + 的解析式是 由我们熟知的两个函数构成的( 不妨称为 ) ， ： 和 y：16 的 叠加 )，那么我们是否可以以此人手 研究新 函数的图像呢? 教师在同一坐标系中作出函数 ： 和y： 的 图 像 ， 引 导 学 生 分 析 ： ) ， 轴 右 侧 开 始 y ： 訾递 减 速 度 快 于) ， ： 递增速度 ， 故新函数) ， ： + 的变化趋势开 3 9 l 中 小 学 数学I - 信 息 技 甫 与 课 程 整 合 2 0 l3 年 3 月 下
6、旬 (高 中 ) 始 为 递 减 ；但 后 来 却 是 y = 等 递 减 速 度 慢 于 = 递 增速度 ， 这样y= + 的变化趋势从递减变为递增 y 轴 左 侧 可 作 同 样 的 探 讨 ，于 是 猜 想 y = + 警 的 图 像 如图 1中虚线所示 师： 通过以上分析我们猜测出函数图像的变化趋 势( 实际上就是函数的单调性的雏形) ， 那么我们的猜 测是 否正确 呢? 有什么方式加 以检测呢? 学生( 皆不约而同地举起手中的图形计算器) ： 用 工具 二、 操作实验 归纳性质 1 1 操作活动： 用图形计算器研究函数 Y= + 的图像及性质 叠 【 E X E ： 显示 坐标 l=
7、 茸 + (1 6 J ) 14 i ： ； 誓 9 0 9 K 薯18031 l 48 =l 0 gog8 88l 1 图 2 ， 如图2， 在“ 图形”模块中画出函数， ( )= + 的图像， 借助于“ 图解”菜单中的“ 追踪”命令感受函 数值的变化趋势， 并利用“ 极大极小值”命令锁定函 数图像变化的“ 转折点” 师： 图形计算器帮助我们画出了y= + 的准 确图像 ， 也验证了我们前面猜测的正确性 ； 那么由图 像如何归纳函数的性质呢? 一般情况我们从哪几方面 加以思考呢? 生： 类比先前函数的研究过程， 可以从定义域、 值 4 0 域 、 奇偶性、 单调性、 周期性几方面展开 师生一
8、起读图， 共同完成下表的填写： 性 质 分 类 函 数 y = + 訾 的 性 质 定义域 ( 一 ， 0 )u ( 0 ，+) 值域 ( 一 ， 一8 u 8 ， +。 。 ) 奇偶性 奇函数 ， 图像关于原点中心对称 函数在区间( 一， 一 4 上递增， 在区间 一4 ， 0 )上递减； 在区间 单调性 ( 0 ， 4 上递减， 在区间 4 ，+ ) 上递增 2 推广研究： 从y：x+ 的研究经验出发， 迁移 到类似函数Y= + 的认识， 研究过程为： 从y= 、 y =的 叠 加 角 度 猜 测 ， = + 的 图 像 一 图 形 计 算器中绘制Y= + 的图像 一 归纳 y= + 的
9、性质( 在前表基础上用彩色笔修改填表) 师： 比较 Y： + 和_y： + 的性质， 它们有 何异 同? 生 1 ： 定义域 、 奇偶性相同 生2 ： 图像变化趋势相似 ， 只是区间的端点值不一 致 生3 ： 值域也不一样， 但与单调性有直接关联 师： 单调区间的端点我们不妨称之为“ 转折点” ， “ 转折点”与函数解析式的关系如何， 我们需要进一 步深入研究 3 深入探讨： 首先学生以小组合作的方式进行数 学实验， 一位同学负责图形计算器操作( 输入不同的 函 数 解 析 式 ，如 y = + 、 Y = + 、 Y ： x + 等 ， 操作确认相应的“ 转折点” ) ， 另一位 同学负责记
10、录 ( 完成表格的填写， 不失一般性仅限于Y轴右侧的“ 转 折点” ) ， 通过丰富案例的列举归纳函数“ 转折点”与 函数解析式的关联规律 1 6 1 函数 v= + V= + 转折点 =4 ：1 其次通过班级层面的共享交流， 得出结论： 函数Y ： +旦 ( 。0 )的“ 转折点”为 = 从而进一 步确认相应函数的单调性及值域 2 0 1 3 年 3 月 下 旬 ( 高 中 ) 信 息 技 带 与 课 程 整 合 I 中 小学 数学 旧 I 再次回到函数叠加的角度思考 Y= +旦 ( o 0 ) 的 图 像 ， 发 现 函 数 = 、 Y = 詈的 图 像 交 点 处 即 为 = +詈( 。
11、 0 ) 的 “ 转 折 点 ” ( 如 图 3 ) 憧 【 E x E 】 ： 显示 坐 标 I V3 = YI + Y2 7 n 4 l I 乱： 霉 。2 ； 8 ；。 以 、 值 R = I 4 1 4 2 1 3 6 3 5 薯 7 = 2 8 2 8 4 2 7 1 2 5 图 3 三、 揭示课题 ， 理论建构 师 ： 上 述 研 究 形 如 y = + 詈 ( 。 0 ) 的 函 数 ， 我 们通常称之为对勾函数 ， 由图像得名 ， 又被称为“ 双勾 函数” 、 或“ 耐克函数”等 师生一起归纳函数性质， 并投影下表 ： 性 质 分 类 函 数 y = + 詈 ( n 0 ) 性
12、 质 定义域 ( 一， 0 )u ( 0， +) 值域 ( 一。 。 ， 一 2 , g u f 2 ， + ) 奇偶性 奇函数， 图像关于原点中心对称 函数在( 一。 。， 一 上递增 ， 一 ， 0 ) 单调性 上递减 ； 在 ( 0 ， 上递减 ， 在 ， +。 。 ) 上递增 教师通过动态 图的演示进 一步强 化学 生对对 勾 函数图像与性质的整体认知， 如图4 ， 图形计算器显示 屏不但可以清晰呈现函数图像 ， 而且依稀可见渐近线 的影子 ， 而函数图像是 双 曲线 也“ 呼之 欲 出” ， 为课 堂 研究 的拓展 留下余地 7 1 2 3 4 - - - - 阀A= 撂 图 4 师
13、： 我们通过 图像的观察得出了函数的性质， 但 图像的性质正确与否还需要得到数学的验证 学生简述奇偶性、 单调性的证明思路后， 教师板 演值域的证明过程如下： 方法一、 ( 利用单调性) ， ( )在( 0 ， 上递减 ， 在 ，+。 。) 上递增 ( 0 ，+。 。 )时 ) =， ( )=2 ( 0 ，+ )时 ) 2 。，+ ) 由奇函数的性质可知， ( 一 ， 0 ) )( 一。 。 ， 一 2 口 Y( 一。 。 ， 一 2 0 u 2 A ， + ) 方法二、 ( 利 用不等 式性 质) 0 时 ， + 詈 ( 一 等 ) + 2 2 ， 当且仅当 = 时， 取等号 = 时， Y
14、i =2 , 7 由奇 函数 的性 质 可 知 ， Y (一 ，一2 U 2 , a， +) 四、 学 以致用 、 拓展提升 学生应用所学知识解决情境设计中的现实问题， 教师巡视以纠正学生可能存在的不规范书写格式 教师引导学生 回顾研究进程， 揭示从猜想到验 证、 从模糊走向清晰的过程中， 图形计算器的工具作 用 ， 并引导学生思考进一步的研究方向： ) ， = +旦 ( 。0 ) ? 思路 ： 提问： 类似这种类型的函数还有多少呢? 如果每个都这么研究太复杂 ， 不妨把它们抽象成 Y= +旦- ( 0 0 ) ，研究这个函数的性质 思 考 ： 学 生 说 还 有 Y = 一 ，y ： 2 +
15、 ，) ， = 一2 +上， ，这一函数类型怎么归类? 老师直接限定 y= + ( 0 ) 不是上策 ， 因为这样显示 不出课 堂 生成 调整策略 ： 1 我们再来看一个类似的函数 Y= + 同学 们能说说它的大致图像和性质吗? ( 在前表基础上用 彩色笔修改填表) 设计意图： 让学生发现填表中最关键的信息是： 单调区间端点值 2 怎么找转折点? 再猜测! 你觉得图像 中的转折 点是怎么来的? 图 像的 交点! 怎么算交点 ： ， ：上 3 活动， 揭示任务 请同学们用图形计算器再研究一些类似的函数 合作学习， 一位同学操作图形计算器， 另一位同学做 记 录 交换角色再多 尝试 几个 如果 函数 解析 式有 变 化， 如何研究? 这样设计的目
