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1、 - 1 - 2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 （1）设常数1,2a 则 21limln(12 )nnnna na+ = . 【答答】 1 1 2a【详解详解】 因为21lim(1 2 )nnnna na+ =11(1 2 )1 21 21lim1(12 )naaanena+=?所以 1 1 2211limlnln(12 )12nannnaenaa+=（2）交换积分次序：()()111 422 104,yyydyf x y dxdyf x y dx+=_. 【答答】 ()21 2 0,
2、xxdxf x y dy【详解详解】 积分区域12,DDD=+其中 ()11,|0,4Dx yyyxy=()2111,|,422Dx yyyx=于是 D 也可以表示为()21,|0,.2Dx yxxyx=故 ()()()21111 4222 1004,.yxyyxdyf x y dxdyf x y dxdxf x y dy+=- 2 - （3）设三阶矩阵122212304 = A,三维向量(),1,1.Ta= 已知与 线性相关， a_ 【答答】 -1 【详解详解】 由题设，存在 k，使得k = =，即 12221213041ak = 即22,212,34,akaakak+= + += +=可得
3、1,1.ak= = 故所求 a 为1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 P Y X 1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则2X和2Y的斜方差()22cos,XY=_ 【答答】 0.02 【详解详解】 由题设，有 X 0 1 P 0.4 0.6 - 3 - X 1 0 1 P 0.15 0.5 0.35且 2X 0 1 P 0.4 0.6 2Y 0 1 P 0.5 0.5 22X Y 0 1 P 0.72 0.28 从而()()()22220.28,0.69,0.5,E X YE XE Y= 故()() ()()222222cos,0
4、.280.30.02.XYE XYE XY= （5）设总体X的概率密度为()(), ,;0, xexf xx=时仅有零解. （B）当时nm必有非零解. （C）当时mn仅有零解 （D）当时mn必有非零解 【答答】 D 【详解详解】 AB为mm矩阵， 当mn时， 有()( )rrnm当1a 利用闭区间上连续函数得性质,证明存在一点 , ,a b使 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dx=【详解详解】 因为( ), ( ) , f x g xa b在上连续, 且( )0,g x ,由最值定理,知( )f x在 , a b上有最大值M和最小值m,即 ( ),mf xM
5、故 ( )( ) ( )( ).mg xf x g xMg x ( )( ) ( )( ),bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx( ) ( )( )ba baf x g x dx mM g x dx . 由介值定理知,存在 , ,a b使 ( ) ( ) ( ) ( )ba baf x g x dx f g x dx= , 即 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dx=九九、设齐次线性方程组 1231231230,0,0,nnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax+= += +=LLLLLL其中0,0,2.abn试讨论,a b为
6、何值时方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 【详解详解】 方程组的系数行列式 ()()11.nabbb babb Aanbabbbabbbba=+L L L MMMM L- 11 - 当(),1aban b且时，方程组仅有零解. （2）当ab=时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 1111 0000.0000abbb babb Abbabbbba=LLLLLMMMMMMMMLL原方程组的通解方程组为 120,nxxx+=L 其基础解系为 ()()()1211,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,1.TTT= = = LLLL 方程组的全部解是
7、()112212,nnncccc cc=+KK为任意常数x （3）当()1an=对系数矩阵A作初等变换，有 () () ()()1 1 11n bbbb bn bbb Abbn bbbbbn b = L L L MMMM L() ()()12000111100011110001111 000111111111nnnnnnnnnnnnn KLLLLLMMMMMMMMMLLL341000110001 0100101001 00101001010001100011 1111100000n KK LL LL MMMMMMMMMM LL LL原方程组的通解方程组为 - 12 - 121,nnnnxxxx
8、xx= = =LL其基础解系为()1,1,1T=L 方程组的全部特解是 xc= （c 为任意常数）. 十十、设A为三阶实对称矩阵，且满足22+AA= O已知A的秩为( )2.r=A （1） 求A的全部特征值； （2） 当k为何值时，矩阵kA+ E为正定矩阵，其中E诶三阶单位矩阵. 【详解详解 1】 （1） 设为A的一个特征值， 对应的特征系向量为 ， 则()0=A 22=A. 于是()()222+=+AA 由条件22+AA= O推知()220+= 又由于0 ，故有220+=， 因为实对称矩阵A必可以对角化,且( )2.r=A所以 220 = AA 因此，矩阵A的全部特征值为 1232,0.=
9、= （2） 矩阵kA+ E仍为实对称矩阵，由（1）知，kA+ E的全部特征值为 2, 2, .kk k + + 于是，当2k时，矩阵kA+ E的全部特征值大于令，因此，矩阵kA+ E为正定矩阵. 【详解详解 2】 同详解 1. （2）实对称矩阵必定可以对角化，故存在可逆矩阵P,使得 - 13 - 1-1P AP = A,A= P P 于是 ()-1-1-1,kkk+A+ E = P PP P = P+ E P 所以kkA+ E A+ E 而 22,2kkkk = + E k+ E为正定矩阵，只需其顺序主子式均大于令，即k需满足 ()()2220,20,20.kkkk 因此，当2k时，矩阵kA+
10、 E为正定矩阵. 十一十一、设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量 1,1,1, 1,1,1,1, 1.UUXYUU = 若若若若试：求（1）X 和 Y 的联合密度分布； （2） ().D XY+ 【详解详解】 (1) 随机变量(),X Y有四个可能值：() () () ()1, 1 ,1,1 , 1, 1 , 1,1 . 11,11,1,4P XYP UU= = = = 1,11,10,P XYP UU= = = 11,11,1,2P XYP UU= = = 11,11,14P XYP UU= = 于是，得 X 和 Y 的联合概率分布为 ()()() () ()1, 11,11,
11、11,1 ,.1110424X Y （2） XY+ 和()2XY+）的概率分布相应为 - 14 - ()220004 ,11111 42422XYXY + 由此可见 ()220;44E XY+= += ()()22.D XYE XY+=+= 十二、十二、 （本题满分 13 分） 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间()EX为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数( )F y. 【详解详解】 设X的分布参数为.由于1()5,E X=可见1.5= 显然min,2 .YX= 对于0,( )0;yF y=对于2,( )1.yF y= 设02,y有 5( )min,21y F yP YyPXyP Xye= 于是,Y的分布函数为 50,0,( )1,02,1,2.yyF yeyy =
