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1、概率统计的MATLAB求解 随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征参数估计Date11 随机变量及其分布注：以后碰到命令末尾为： rnd-产生随机数X； cdf-产生分布函数 F(x) pdf-产生密度函数p(x)或分布列 Px=PX=x inv-计算x=F-1(p) p=F (x)Date2常见分布的随机数产生Date3专用函数计算概率密度函数表 Date4专用函数的累积概率值函数表 Date5常用临界值函数表 Date6常见分布的均值和方差 Date73.1 随机变量及其分布n 例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概 率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：
2、(1)试计算x=45的概率和x45的概率； (2)绘绘制分布函数图图象和分布列图图象。 程序：clear; px=binopdf(45,100,0.5) % 计算x=45的概率px = 0.0485 fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算x45的概率fx =0.1841 x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+); title(分布函数图)Date83.1 随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图）Date93.1 随机变量及其分布n 例3.2设XN(2,0.25)
3、(1) 求概率P1X2.5； (2)绘绘制分布函数图图象和分布密度图图象; (3)画出区间间1.5,1.9上的分布密度曲线线下方区域。 程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5) p = 0.8186 (2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5); fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,+b);hold on; plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数,正态分布密 度); (3) specs=1.5,1.9; pp=normspec(specs,2,0.5)Date103.1 随机变量及
4、其分布Date113.2 随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量X 的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密度 函数为： fY(x)= fX(h(y)|h(y)|,其中x=h(y)是y=g(x) 的反函数。 如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区 间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程Date12n 例3.3设随机变量X服从均匀分布U0,1，求Y=eX 的分布。程序：clear; x=solve(y=exp(x) x=log(y) dy=diff(x,y) dy=1/y fy= 1*abs(dy) fy=1/|y|注：取
5、值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！3.2 随机变量函数的分布Date133.3 随机变量的数字特征n 随机变量的数学期望1.数组的平均值-Y=mean(X) 功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出 为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的 平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或m=mean(X(:) 与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等 2.离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和 3.连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望Dat
6、e143.3 随机变量的数字特征n 例3.4设随机变量X的分布列，求期望。程序：clear; x=-1,0,2,3; p=1/8,1/4,3/8,1/4; EX=sum(x.*p) 1.3750X-1023P1/81/43/81/4Date153.3 随机变量的数字特征n 例3.5设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2; EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; a,b=solve(f1,f2) a=3
7、/5,b=6/5Date163.3 随机变量的数字特征n 例3.6设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。程序：clear;syms x; fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x); EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf) EY= 1Date173.3 随机变量的数字特征n 随机变量的方差1.统计数据的方差-D=var(X,1) 功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方 差值，应用嵌套：var(var(X)缺省1，计算：否则计算： 2.统
8、计数据的标准差-S=std(X,1) 功能：用法和1的解释同上 3. 一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2 功能：用积分或级数编程计算 Date183.3 随机变量的数字特征n 例3.7设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2; EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2) E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2) DX=E2X-EX2 Date193.3 随机变量的数字特征n 常见分布的期望和方差1.二项分布-E,D=binostat(n,p) 说明:n,p可以是标量,向量,矩阵,则E
9、,D是对应的标量,向量,矩阵 2.超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K) 3.泊松分布-E,D=poissstat(lambda) 4.均匀分布-E,D=unifstat(a,b) 5.指数分布-E,D=expstat(lambda) 6.正态分布-E,D=normstat(mu,sigma) 其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等Date203.3 随机变量的数字特征n 协方差与相关系数的计算1.随机变量的协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY) 3.统计数据
10、的协方差 cov(X)-当X为向量时,cov(X)=var(X);当X为矩阵时,结 果为X的协方差矩阵.对角线是X每列的方差,Xij为X的第i列 和第j列的协方差值。 cov(X,Y)-计算向量X和Y的协方差值 4.统计数据的相关系数 corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与cov()相同Date213.3 随机变量的数字特征n 矩的计算1.随机变量的k阶中心矩-Bk=moment(X,k)2.随机变量的k阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X)Date223.4 参数估计n 常用分布的参数估计1.正态分布的参数估计 格式：muhat,sigmahat,mu
11、ci,sigmaci=normfit(X,alpha) 功能：数组X服从正态分布,给定显著水平alpha,缺省时为 0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时,针 对列进行计算。 2.二项分布的参数估计(n重已知,p未知) 格式：phat,puci=binofit(X,n,alpha) 3.泊松分布的参数估计 格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X, alpha) 4.均匀分布的参数估计 格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha) Date233.4 参数估计5.指数分布的参数估计 格式：lbdhat, lbdci=expfit(X,
12、alpha) 6.通用命令mle() 格式：输出参数项=mle(分布函数名,X,alpha ,N) 说明：分布函数名有：bino(二项),geo(几何),hyge(超几何) poiss(泊松),uinf(均匀),unid(离散均匀),exp(指数) norm(正态),t(T分布),f(F分布),beta(贝塔),gam(伽吗) N当二项时需要，其他没有。Date24n 例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分 布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的 参数估计。程序：clear; w=normrnd(15,2.5,50,1); 或w=15+2.5*randn(50,1); alpha=0.03; mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha) 运行一次：mh=15.1076sh=2.4038mc=14.347815.8674sc=1.97093.07033.4 参数估计Date25n 例3.9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验 知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度 95%)。程序：clear; alpha=0.05;N=100;X=60; Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：Ph=0.6000Pc=0.49720.69673.4 参数估计Date26
