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1、 新视角一 关 注 教 师 的 数 学 能 力 与 教 材 擐 擐 一 河北省保定市教育科学研究所 陈云平 对高考来说 ， 备考策略 、 计划安排 固然非常重要 ， 但归根结底没有教师的数学能力是绝对不行的， 一个 懂得并制订 了兵法 的国家被一个不懂 兵法 的国家打 败 的事 是屡 见不 鲜 的 ， 所 以 ， 实 力 是保 障 “ 年 年岁 岁 花相 似 ， 岁 岁年 年 人 不 同” ， 把 这 用 以 说 明“ 变 ” 与 “ 不 变” 道 理 的名 句 移 植 到 高 考 中 去 ， 即“ 年 年 岁 岁 意 相 似， 岁岁年年题不 同” “ 相似” 意 味着“ 稳定” ， “ 不同
2、” 则 意味 着“ 创 新” 而“ 稳 定” 和“ 创 新 ” 的根源 就 在 于教 师的数 学能力 与教 材挖 掘 众所周知 ， 在我 国现行的高考体制下 ， 由于学生 学习缺失 自主性， 使得教师的作用尤为重要 ， 教师 的 能 力在很 大程度 上左 右着 学 生学 习理解 的路 径 如“ 平 面 向量 ” 部 分 ， 如 果 老 师 能 把 握 好 以下 几 点 ， 而不 是在枝 节 的题 海 之 中 游来 荡 去 ， 那 么 学 生 对 这部 分 内容 的学 习就基 本 上成 功 了一半 第一 ， 抠 紧 两 个 支柱 概 念 ： 向量 的加 法 与 数 量 积 ( 可 以说 ， 加
3、法是 前一部 分 的支 柱 ， 数量 积 则是 后 一部 分的核心) ； 第二， 理 清两种研 究思路 ： 几何法 、 坐标 法； 第三， 掌握两个重要公式 ： ( 1 ) 求角( 平行与垂直) ： C O S 一 ； ( 2 ) 求距离 l a I 一 ； 第四， 吃透 一个典型例题 ： 将数轴 O x、 Oy的原点放在一起 ， 且使 x O y ：4 5 。 ， 则 得 到一个平 面斜 坐 标 设 P 为 坐标 平 面内的一点 ， 其斜坐标定义如下： 若0 X e +Y e 。 ( 、 e 。 分别为与 z轴 、 Y轴 同向的单位 向量) ， 则 P点 的坐标为( z， ) 例如 ： 若
4、F ( 一1 ， 0 ) 、 F ( 1 ， 0 ) ， 且动 I 1 点M ( x， ) 满 足 一 1 ， 则 点 M 的 轨 迹 方 程 为 l I V I 2 I 研究本题的价值在于 ， 一方面可检 验学生 的知 识 迁移 能 力 ( 这 同 时 也 对 应 着 对 知 识 本 质 的 理 解 情 况 ) ， 如 在直 角坐标 系 中 ， 确 定一 个 点 的坐标 的方 法是 过该点分别作两个坐标轴的垂线 ， 但在斜坐标系 中就 应改为作平行线 ， 因为向量的加法满足的是平行四边 形法 则 ， 而不 是矩 形 法 则 ， 直 角 坐 标 系 中 两种 说 法 的 一致 性恰 好掩 盖
5、了问 题 的本 质 ； 另 一方 面 ， 可进 一 步 明确向量长度的计算公式 I a I 一 口 a 的本源和意义 ( 源于数量积的定义 ) 及 I a I 一 z + 。 的局限性( 只 适合于直角坐标系) 由上可 以看出， 如果教师没有较 强的数学能力 ， 只是停 留在 问题表 面， 缺乏对教材 的 深入挖掘 ， 提高课 堂教学效率就只能是空谈 下面 ， 我们再从几道题出发， 看看高考和模拟考 试是怎样体现教材的功能的 例 1 ( 2 0 0 3年 高考数 学全 国卷 理科 2 1题 、 文科 2 3题 ) “ 已 知常数 a 0 ， 在 矩 形 AB C D 中 ， AB 一4 ， B
6、 C=4 a ， 0 为 AB 的 中 点 点 E、 F、 G分别在 BC、 C D、 图1 D A J = ， 且 嚣= 器一 ， P G E 、 0 F 的 交 点 ( 图 1 ) 问是否存在两个定点 ， 使 P到这两点 的距离 的和为定值?若存 在， 求 出这两定 点 的坐 标及此定 值 ； 若不存在 ， 请说 明理 由 ” 该题 也 是 当年 数 学 试 卷 的亮 点 之 一 ， 设 问委 婉 、 含蓄 ， 考查全面 、 深 刻 其 中的结论“ 问是否存在 两个定点 ， 使 P到这两个定点的距离和为定值” ， 给考 生以“ 椭圆的定义” 之提示 ， 从而为确定求解思路指 出 了方向：
7、即先求出点 P的轨迹和方程 ， 进而判断如果 轨迹为椭圆， 说明所求 的两点存在 ， 否则不存在 由此 可以看出命题者的独具匠心 ， 将一个求解题变成 了探 索性 问题 ， 从而为试题创新 注入了生机 和活力 本题 的精 彩 之处还 在 于 ， 对 “ 稳定 ” 和“ 创 新 ” 的理解 达 到 了 较 高 的境 界 ， 表现 在 ： ( 1 ) 本 题重 点 依托 教 材 中椭 圆的 定 义及 标准方 程 部分 ， 通 过委婉 设 问 和新 颖 的 问题情 境 ， 考查 了学生对教材 中相应内容的掌握情况 ； ( 2 ) 本 题还可看做是 旧版教材 解 析几何 中一道 例题 ： “ 如 图
8、2 ， 在工程中， 画拱宽为 2 n ， 拱高为 h的抛物线常用 下面的画法 ， 证明其画法的正确性” 的推广与拓展 I _ ， 、 、 r I D 、 图 2 图 3 例 2 ( 2 0 0 7 年 高考数 学全 国卷 I理 科 2 1 题 、 文 2 2题) 已知椭 圆X 2 T y21的左、 右焦 点分别为 F 、 F 2 过 F 。的直线交椭圆于 B、 D两点， 过 F 的直 线 交椭 圆于 A、 C两 点 ， 且 AC 上BD， 垂足 为 P ( 1 ) 设 P 点 的坐 标 为 ( z 。 ， 。) ， 证 明 ： 誓 + 譬 6 O ) ， 若点 A 在椭 圆的外部 ， 连结 A
9、F 、 A_F 。 ， 设 AF 2 与椭 圆相 交 于 点 B， 则 I AF I + I AF 。 l l AF I + l AB l + l B F 2 f B Fl I + I B F I 一2 a ， 即 AF 1 I + l AF 2 I 2 口 ， 于是可 得 ( 1 ) 若点 A在椭圆的外部固 l AF l +l AF 。 I 2 口 甘 xzT y2 1； ( 2 ) 若点 B在椭圆上甘 I BF I + I B F 2 l 一2 口 铮 + 221； ( 3 ) 若 点 C在椭 圆 的 内部甘 I C F l + l C F l (2 a 甘 Xz T yZ 8 ， 故选
10、&上述结论的一个副产品 则是“ 当三角形不可能为正三角形 时， 则当其接近正三 角形时( 或其最大边与最小边之差最小时) ， 此三角形 的面积最大” 若此结论 正确， 显然 当边 长分别为 6 ， 2 +5 ， 3 +4时 ， 最大边与最小边之差最小( 等于 1 ， 因为 边长是正整数) ， 故选 B单从 以上分析， 似乎并没有看 出其中蕴涵的教材背景 ， 而且其中的一些结论也没有 经过严格 的证明， 学生能否接受?正是基 于这样的疑 问 ， 才给我们提供了挖掘教材 的契机 下面， 我们对上 述两个结论作一个简要分析 ， 首先给出如下结论 ： “ 周 长一定的三角形， 当其一边固定时， 以等腰
11、三角形 的面 积最大， 若不能构成等腰三角形时， 则以接近等腰三角 形时面积最大” 因为 ， 当其一 边 固定 时 ， 另一 个 顶点 必 在 以其 他两 个顶 点为 焦点 的椭 圆 上 ， 根据 椭 圆知识 即 可得证 而“ 周长一定的等腰三角形中， 又以正三角形 的面积 最大 ” 设 等腰 三角形 的底边 为 z ， 腰 长 为 a ， 周 1厂 一 长为 P ，则 其 面 积 S一 寺 z n 一 寺 z 。 1 1 = 1 ( 户 一z ) 。 z 一 z 一 上 户 z 。 一2 p x 。 ， 令 f ( z ) 士 士 一P 。 z 。 一2 p x 。 ， 则 由其 导 函数
12、f ( z ) 一2 p 。 z一 6 p x 一o ， 得 z 一0或 z一 ， 即 z一日一 时 ， s取得最 大 o o 值 由以上分析不难看出， 本题综合性强 ， 方法灵活而 又基本 ， 在挖掘教材 、 活用教材方面对我们颇有启示 但我们在听课调研中发现， 很多教师都没有很好的挖 掘出本题的教育功能， 大多以含混的态度敷衍了事 例 4 ( 模 拟 试题 ) 如 图 6 ， 过 椭 圆 等 + y Z 一 1 的 左 焦 点 F 、 倾斜角为 4 5 。 的直线 交椭 圆 于 A、 B两点 ， 现 将椭圆沿 轴折 图6 成二面角 a - Ox - fl ( 坐标轴不变 ， 记点 A折起后
13、的位置 ， 1、 为A ， 且A 在平面卢 内的 射影为c ( 0 ， 一) 、 o， ( 1 ) 求直 线 A B 与 3 E 轴所 成 的角 的大 小 ； ( 2 ) 求二面角 GA B 一 0的大小 ； ( 3 ) 求上半平面的椭 圆部分在下半平面内的射影 的轨迹方 程 这道题 目是由现行高中教材 数学 第二册( 下) 第9 5 页例 3 ： “ 如 图， 已知一个 圆的圆心为坐标 原点 ， 半径为 2 从这个 圆上任意一点 P向 z轴作垂 线段 PN ， 求 线段 PN 中点 M 的轨 迹 ” 改 编而 来 的 其 新 颖 性表现 在通 过对 坐标平 面 内 图形 的折 叠 ， 实 现
14、 了立 体 与解析的交汇， 同时也考查了学生的知识迁移能力 常言道： “ 万变不离其宗” ， 事物的表象可以千变万 化， 但隐藏在其中的根本却是亘古不变的， 只要我们能 够通过变化的外表找到不变 的根本 ， 我们就会做到 以 不变应 万变 ， 从而更好 的迎接来 自教学 与学 习的挑 战 例 5 ( 2 0 0 8年 高考数 学浙江卷) 如 图 7 ， AB是 平 面 a的 斜 线 ， A 为 斜 足 ， 若 点 P 在平 面 a内运 动 ， 使得 AABP的面 积为 定值 ， 则 动 点 P 的轨迹 是 ( ) A圆 B 椭 圆 图 7 C 一 条 直线 D 两条 平行 直 线 本题源于普通
15、 高中课程标 准实验教材 数学 选 修 2 1 ( 人教 社 A 版 ) 第 4 2页 的阅读 材 料 ： “ 如 图 ( 略) ， 圆柱 的轴上一条定长线段 AB， 通过点 B作 圆 柱的斜截面得到椭 圆， 设点 P是椭 圆上的任意一点 ， 则ABP的面积为定值 ” 例 6 ( 模拟试题) 已知 ： 将圆 z + 。 一1绕 轴 旋转后， 在原坐标平面内的射影是一个椭圆 0 ( 1 ) 求此 椭 圆 的方程 ； ( 2 ) ( 理 ) 求 过椭 圆上一 点 A( X 。 ， Y ) 的切 线 的 方程 ； ( 文) 求过 圆 z + 一r ( r O ) 上一点 P( x 。 ， Y 。 ) 的切 线 方程 ， 并类 比该 结论 ， 写 出过 ( 1 ) 中椭 圆 上一 点 A( x ， Y ) 的切线 方程 ； 9、 ( 3 ) 若过 椭圆 外一点P ( ， 去) ( t E R ) 作 椭圆 的 两 、 0 条切线 ， 试证两切点的连线过定点 理科( 2 ) 中求切线斜率时需将方程化为两个函数 ( 课本 中有这样的例子) 、 文科 ( 2 ) 中先求 圆的切线方 程 ， 然后 再类 比到 椭 圆 中去 ， 其 中课 本 中有 求 圆 的切 线
