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1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷山东卷） 理科数学理科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟，考试结束，务必将 试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在 答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答
2、题卡各题目指定区域内相应的位置， 不 能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=1 3Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 如果事件 A，B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P（AB）=P（A） P （B） 。 第 I 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的
3、。 1 若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则 z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：iiii iiz535)1114(722 5)2)(711( 2711+=+-=+=-+=.答案选 A。 另解：设),(Rbabiaz+=，则iiabbaibia711)2(2)2)(+=-+=-+ 根据复数相等可知72 ,112=-=+abba，解得5, 3=ba，于是iz53+=。 2 已知全集U=0,1,2,3,4，集合 A=1,2,3,，B=2,4 ，则（CuA）UB 为 A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4
4、解析：4 , 2 , 0)(,4 , 0=BACACUUU。答案选 C。 3 设 a0 a1 ，则“函数 f(x)= ax在 R 上是减函数 ” ，是“函数 g(x)=(2-a) 3x在 R 上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：p： “函数 f(x)= ax在 R 上是减函数 ”等价于10- a，即, 20= , 3。 答案应选 B。 (7)若4 2p pq， 3 7sin2 =8q，则 sinq= （A）3 5（B）4 5（C）7 4（D）3 4解析：由4 2p pq，可得,22ppq， 812sin12cos2-=-=q
5、q， 43 22cos1sin=-=qq，答案应选 D。 另解：由4 2p pq，及3 7sin2 =8q可得 22=+yx 14-=- yx 42=+ yx O 43 47 167769 167616 87312sin1cossin+=+=+=+=+=+qqq， 而当4 2p pq，时qqcossin，结合选项即可得47cos,43sin=qq.答案应选 D。 （8）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） ，当-3x-1 时，f（x）=-（x+2）2，当-1x 3 时，f（x）=x。则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）= （A）335（B）338（C）1678
6、（D）2012 解析：2)2(, 1) 1 (, 0)0(, 1) 1(, 0)2(, 1)3(=-=-=-=-ffffff，而函数的周期为 6， 3383335)2() 1 ()210101(335)2012()2() 1 (=+=+-+-=+fffffL. 答案应选 B (9)函数的图像大致为 解析：函数xxxxf-=226cos)(，)(226cos)(xfxxfxx-=-=-为奇函数， 当0x，且0x时+)(xf；当0x，且00 B. 当 a0, y1+y20 时，x1+x20 时，x1+x20, y1+y20 解析:令bxaxx+=21，则)0(123+=xbxax，设23)(bxa
7、xxF+=，bxaxxF23)(2+= 令023)(2=+=bxaxxF，则abx32-=，要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=- abbabaabF，整理得23274ab =，于是可取3, 2=ba来研究，当3, 2=ba时，13223=+ xx，解得21, 121=-=xx，此时2, 121=-=yy，此时0, 02121+yyxx.答案应选 B。 另解：令)()(xgxf=可得baxx+=21。 设baxyxy+= =,12不妨设21xx a时如右图，此时21xx ， 即021-xx，此时021=，即021+ y
8、y；同理可由图形经过推理可得当0+yyxx.答案应选 B。 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （13）若不等式的解集为，则实数 k=_。 解析：由可得242-kx，即62 kx，而31 x，所以2=k. )0(+= abaxy)0( =xpxx，),(baQ，由题意可知4pb =，则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为=+=+ppppb43 2423 4，解得1=p，于是抛物线 C 的方程为yx22=. （）假设存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M， 而)2,(),0 , 0(),21, 0(2 0 0xxMOF，)41,(
9、aQ，QFOQMQ=， 161)41 2()(222 02 0+=-+-axax，03 0 83 8xxa-=， 由yx22=可得xy =，03 02 0083 8241xxxxk- =，则2 02 04 021 41 83 81xxx-=-， 即022 04 0=-+ xx，解得10=x，点 M 的坐标为)21, 1 (. （）若点 M 的横坐标为2，则点 M) 1 ,2(，)41,82(-Q。 由 +=4122kxyyx 可得02122=- kxx，设),(),(2211yxByxA， 4)(1 (212 2122xxxxkAB-+=)24)(1 (22+=kk 圆323 161 642)
10、21()82( :22=+=-+yxQ， 22182182kkkkD += +-= )1 (823)1 (32323 422222 kk kkDE+=+-=， 于是)1 (823)24)(1 (22 2222 kkkkDEAB+=+，令5 ,4512=+tk 41 8124812)24()1 (823)24)(1 (2 22 2222+-=+-=+=+tttttttkkkkDEAB， 设41 8124)(2+-=ttttg，28128)(tttg-=， 当5 ,45t时，08128)(2-=tttg， 即当21,45=kt时1014414581 45216254)(min=+ +-=tg. 故
11、当21=k时，1014)(min22=+ DEAB. 22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) = xekx +ln（k 为常数， e=2.71828是自然对数的底数） ， 曲线 y= f(x)在点 （1， f(1)）处的切线与 x 轴平行。 （）求 k 的值； （）求 f(x)的单调区间； （）设 g(x)=(x2+x) ( )fx,其中( )fx为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0，21)(-+-=xxxf；当1x时，0ln11)(+-xexxxx，210)(-+exg. 当10 x时，要证222 21ln)(1ln11)()(-+-=- +=eexxxx exxxxxgxx。 只需证2221()ln(1)xxxxxee-+，然后构造函数即可证明。
