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1、第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第八章空间解析几何与向量代数 向量 代数空间 解析 几何数量表示空间:点, 线, 面坐标,方程组,方程向量法线, 面间关系：垂直,平行,相切数量表示(基本方法) 本章重点：一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影4/308.1 向量及其线性运算 二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算5/308.1 向量及其线性运算1、向量
2、的概念既有大小又有方向的量。如速度、力等。模长为1的向量.表示为模长为0 的向量.表示为| |向量的大小.表示为或或或向量：向量表示 ： 向量的模：单位向量：零向量:二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算或1向量的概念2两非零向量的关系6/308.1 向量及其线性运算不考虑起点位置的向量.大小相等且方向相同的向量.大小相等但方向相反的向量.自由向量：相等向量：(9)负向量：(8)向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量. 二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1、向量的概
3、念1向量的概念2两非零向量的关系关于向量的表示：7/308.1 向量及其线性运算相等：大小相等且方向相同的向量.平行(共线)：方向相同或相反的两个非零向量.垂直：方向成90夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的， 故零向量与任何向量都平行或垂直。共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和 公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.2、两非零向量的关系二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算有哪几种?1向量的概念2两非零向量的关系8/308.1 向量及其线性运算1、向量的加减法 向量加法法则：（平行四边形法则）特殊地：
4、若，分为（有时也称三角形法则）同向反向二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算（大小）（方向同模大的向量 ）1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件9/308.1 向量及其线性运算向量加法运算律：交换律：结合律：加负律：减法法则二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算注：1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件10/308.1 向量及其线性运算2、向量与数的乘法(1)(2)(3) 定义：二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运
5、算1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件11/308.1 向量及其线性运算数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律 ：分配律：线性运算： 向量的加减及数乘统称向量的线性运算。例如二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件12/308.1 向量及其线性运算例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与 平行且相等,结论得证.二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算13/308.1 向量及其线性运算3、向量的单位化注意：与三个
6、坐标轴同向的单位向量的记法.二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算单位化1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件14/308.1 向量及其线性运算4、向量平行充要条件（只记结论，不证明）注：此定理是建立数轴的理论依据.二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算一维数轴：二维数轴：注意:(x,y)可表示点P，也可表示向量1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件15/308.1 向量及其线性运算横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系 Oxyz坐标系 或O;i,j,k坐标系三个坐标轴的正方向符
7、合右手系.1、坐标系的构成 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面 卦限：、(图见下页)二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1坐标系的构成2点、向量与坐标16/308.1 向量及其线性运算面面面八个卦限二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1坐标系的构成2点、向量与坐标17/308.1 向量及其线性运算2、 点、向量与坐标的对应关系空间的点M有序数组二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算注意:(
8、x,y,z)可表示点M，也可表示向量(向径)1坐标系的构成2点、向量与坐标18/308.1 向量及其线性运算加法1、向量的加减法与数乘减法数乘二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1加减与数乘2平行向量的坐标表示式19/308.1 向量及其线性运算2、平行向量的坐标表示式例2例3二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算向量平行充要条件向量平行坐标表示式2平行向量的坐标表示式1加减与数乘20/308.1 向量及其线性运算解例2 求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得二向
9、量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算21/308.1 向量及其线性运算例3 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数-1，在直线AB上求点M，使解 设为直线上的点，由题意知：二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算22/308.1 向量及其线性运算1、向量的模与两点间的距离公式:两点间的距离公式:向量的模:例4例5二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算例61模.距离公式2方向角3投影23/308.1
10、 向量及其线性运算解原结论成立.二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算24/308.1 向量及其线性运算解设P点坐标为所求点为二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(略改)25/308.1 向量及其线性运算例6 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5)，求与解：二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(略改)课本：方向相同26/308.1 向量及其线性运算2、方向角与方向余弦 空间两向量的夹角的概念 :特殊地，当两个向
11、量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1模.距离公式2方向角3投影27/308.1 向量及其线性运算方向角显然有二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(非零向量与坐标轴的夹角)正半轴1模.距离公式2方向角3投影28/308.1 向量及其线性运算,知方向余弦的正负可以表示向量的方向是否指向正半轴. 方向余弦的特征例7例8二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算方向余弦
12、求方向余弦：联系向量单位化：注：1模.距离公式2方向角3投影29/308.1 向量及其线性运算例7 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算解二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(数改)30/308.1 向量及其线性运算解1二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(略改)31/308.1 向量及其线性运算解2二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算 (略改)32/308.1 向量及其线性运算3、向量在轴上的投影
13、(1)向量在u轴上投影二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(向量在u轴上的坐标)已知向量 在x轴上的坐标为x,1模 2方向角3投影33/308.1 向量及其线性运算(2)向量在三坐标轴上的投影(3)向量投影的性质例9二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算1模.距离公式2方向角3投影34/308.1 向量及其线性运算解 ：二向量的 线性运算三空间 直角坐标系五向量的模. 方向角.投影一 向量概念四利用坐标 作线性运算(略改)在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？思考题A:; 解答 B:; C:; D:;
