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1、第7课时课时 立体几何中的向量方法2014高考导导航考纲纲展示备备考指南 1.理解直线线的方向向量与平面的法 向量 2.能用向量语语言表述直线线与直线线、 直线线与平面、平面与平面的垂直、 平行关系 3.能用向量方法证证明有关直线线和平 面位置关系的一些定理(包括三垂 线线定理) 4.能用向量方法解决直线线与直线线、 直线线与平面、平面与平面的夹夹角的 计计算问题问题 ，了解向量方法在研究 立体几何问题问题 中的应应用.从高考内容上来看, 利用向量法求空间间 角的大小是命题题的 热热点，题题型多为为解 答题题，难难度中档. 着重考查查学生建立 空间间坐标标系及空间间 向量坐标标运算的能 力.本
2、节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础础梳理非零思考探究直线线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗吗？提示：不唯一凡是在直线线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为为直线线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为为平面的法向量cosn1，n2或cosn1，n2课课前热热身1若平面，的法向量分别为别为 n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则则( )A BC，相交但不垂直 D以上均不正确答案：C2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为为n(6，3,6)，则则下列点P中，在平面内的是( )AP(2,3,3) BP(2,0
3、,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)3若直线线l的方向向量与平面的法向量的夹夹角等于120，则则直线线l与平面所成的角等于( )A120 B60C30 D60或30解析：选选C.由题题意得直线线l与平面的法向量所在直线线的夹夹角为为60，直线线l与平面所成的角为为906030.4从空间间一点P向二面角 l 的两个面，分别别作垂线线PE，PF，垂足分别为别为 E,F,若二面角 l 的大小为为60，则则EPF的大小为为_解析：EPF实质实质 就是二面角的两个面的法向量的夹夹角，它与二面角的平面角相等或互补补答案：60或120考点探究讲练互动例1考点突破考点突破【答案】 90例2【方法感悟】
4、 (1)利用向量法证证明空间间的平行或垂直问题问题 ，建系是关键键的一步，通常借助于几何图图形中的垂直关系选择选择坐标标原点和坐标轴标轴 ，并让让尽可能多的顶顶点在坐标轴标轴 上(2)用向量法证线证线 面平行时时，还还可以使用证证明直线线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线线(平行)向量，也可以证证明直线线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题问题 中可选选择较简单择较简单 的解法例3例4【题题后感悟】 求二面角最常用的方法：(1)分别别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过过两个平面的法向量的夹夹角得到二面角的大小，但要注意结结合实实际图际图 形判断所求角是锐锐角还还是钝钝角(
5、2)分别别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发发的两个向量，则这则这 两个向量的夹夹角的大小就是二面角的大小跟踪训练训练4(2012高考广东东卷)如图图所示，在四棱锥锥P ABCD中，底面ABCD为为矩形，PA平面ABCD，点E在线线段PC上，PC平面BDE.(1)证证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角B PC A的正切值值考点5 求空间间距离在棱长为长为 1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为为BB1的中点，则则点C1到平面A1ED的距离是_例5【答案】 1方法感悟方法感悟1用向量知识证识证 明立体几何问题问题 的基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的
6、运算进进行判断；另一种是用向量的坐标标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图图形与空间间向量的联联系，用空间间向量(或坐标标)表示问题问题 中所涉及的点、线线、面，把立体几何问题转问题转 化为为向量问问题题；(2)通过过向量运算，研究点、线线、面之间间的位置关系；(3)根据运算结结果的几何意义义来解释释相关问题问题 2若利用向量求角，各类类角都可以转转化为为向量的夹夹角来运算.(1)求两异面直线线a，b的夹夹角须须求出它们们的方向向量a，b的夹夹角，则则cos |cosa，b|.(2)求直线线l与平面所成的角可先求出平面的法向量n与直线线l的方向向量a的夹夹角，则则sin |cosn，a|.(
7、3)求二面角 l 的大小可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则则n1，n2或n1，n2名师讲坛精彩呈现例规规范解答 用空间间向量求空间间角1234抓关键 促规范合理建系，正确写出坐标标是解答此题题的前提正确求出法向量是重要的得分点利用公式求出两法向量夹夹角的余弦值值是求二面角大小的关键键易忽略h的范围围1234【方法提炼炼】 利用向量法求两异面直线线a，b的夹夹角，须须求出它们们的方向向量a，b的夹夹角，则则cos |cosa，b|；求二面角 l 的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则则n1，n2或n1，n2本题题易错错点是：(1)建系时时不能明确指出坐标标原点和坐标轴标轴 ，致使建系不规规范；(2)易将所求空间间角误认为误认为 是向量的夹夹角，故要注意角的概念和图图形特征进进行转转化
