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1、定积分的物理应用举例变力沿直线所作的功|WFs并且力作用的方向与位移的方向一致，如果物体在作直线运动的过程中受到常力的作用，并且力作用的方向与位移的方向一致，如果物体在作直线运动的过程中受到常力的作用，F了距离了距离 s 时，力对物体所作的功为时，力对物体所作的功为FFs则当物体移动则当物体移动ddWfs如果力是变动的如果力是变动的Fsds例例点电荷点电荷 A (带电量带电量) 位于位于 r 轴的原点轴的原点 O 处，处，q移动到坐标为移动到坐标为 b 处时，处时，2qFkr( k 是常数是常数)当电荷当电荷 B 在这个电场中从在这个电场中从 r 轴上坐标为轴上坐标为 a 处沿处沿 r 轴如果
2、有一个单位正电荷轴如果有一个单位正电荷 B 与点电荷与点电荷 A 的距离为的距离为 r ，rOabq那么电荷那么电荷 A 形成的电场对它的作用力的大小为形成的电场对它的作用力的大小为r求电场力求电场力 F 对它所作的功对它所作的功取取 r 为积分变量，在区间中取一小区间为积分变量，在区间中取一小区间 , a b2dkqrr，从而功元素为于是，所求的功为从而功元素为于是，所求的功为 ,d r rr，当单位电荷从当单位电荷从 r 移动到时，电场力移动到时，电场力drr对它所作的功近似于对它所作的功近似于2ddkqWrr，2dbakqWrr2qFkr解解111bakqkqrab 例例内燃机动力的产生
3、可简化为如下的模型：把汽缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中盛有一定的气体，把容器中的活塞从一点处推到另一点处，的机械装置将活塞的动力传播出去在等温条件下，由于气体的膨胀，经过一定内燃机动力的产生可简化为如下的模型：把汽缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中盛有一定的气体，把容器中的活塞从一点处推到另一点处，的机械装置将活塞的动力传播出去在等温条件下，由于气体的膨胀，经过一定Oxx ab移到距底面为移到距底面为b 处的过程中气体压力所作的功如果活塞的面积为 处的过程中气体压力所作的功如果活塞的面积为 S ，计算活塞从距底面为，计算活塞从距底面为 a 处定量气体在等温条件下，压强处定量气体在等
4、温条件下，压强 p 与体积与体积 V 之积是常数如图建立坐标系，活塞位置用坐标之积是常数如图建立坐标系，活塞位置用坐标 x 来表示来表示k ，即，即 pVk解解因为，所以因为，所以VxSkpxS，取取 x 为积分变量，则功元素为为积分变量，则功元素为ddkWxx，因此因此dlnbakbWxkxa于是作用在活塞上的力为于是作用在活塞上的力为 kFpSxOxx ab例例圆柱形蓄水池高圆柱形蓄水池高 5 m，底半径为，底半径为 3 m，池内盛，池内盛解解满了水问把池内的水全部吸出，至少需作多少功？满了水问把池内的水全部吸出，至少需作多少功？xO xdxx5积分变量，则积分变量，则0,5x任取一个相应
5、的这一层任取一个相应的这一层2d 3 d9dg Vgxgx，如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 x 为为 ,d x xx，小区间薄水的重力为小区间薄水的重力为d9dWgxx ， 于是，所作的功为于是，所作的功为509 dWg xx从而，功元素为从而，功元素为52093464(KJ)2xgxO xdxx5水 压 力则平板一侧所受的水压力为则平板一侧所受的水压力为FpA水深水深 d 处的压强为，其中处的压强为，其中是水的密度，是水的密度，pgdg 为重力加速度如果有一块面积为为重力加速度如果有一块面积为 A 的平板水平地置于深度为的平板水平地置于深度为 d 处，处，设桶的底面半径为设桶的底面半径
6、为 R ，水的密度为，水的密度为，求桶的一端，求桶的一端例例一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，面上的水压力任取小区间，则在相应的小窄矩形上各点一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，面上的水压力任取小区间，则在相应的小窄矩形上各点 ,d x xx如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 x ( )为积分变量，为积分变量，0, xRpgx处的压强为处的压强为R解解OxyROxy22d2dPgx Rxx，故所求水压力微元为故所求水压力微元为2202dRPgx Rxx22220d()RgRxRx 32 3gR小矩形的宽为小矩形的宽为222 Rx，于是，所求水压力为于是，所求水压力为pgx引 力质量
7、为相距为质量为相距为 r 的两质点间的引力大小为的两质点间的引力大小为12,m m12 2m mFGr，其中其中 G 为引力系数，方向引力的方向沿这两质点的连线为引力系数，方向引力的方向沿这两质点的连线Ma算该棒对质点算该棒对质点 M 的引力的引力.例例有一长度为有一长度为 l 、线密度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M ，计，计yxOMa如图建立坐标系，上，质量为，如图建立坐标系，上，质量为，d y ,d y yy于是，引力的大小近似为的一个质点于是，引力的大小近似为的一个质点ydyy2l2lr并把
8、它看成质量集中在下端点并把它看成质量集中在下端点解解取取 y 为积分变量，在小区间为积分变量，在小区间22dmyGay yxOMaydyy2l2lr3 222dd ()xamyFG ay ，于是得到引力在水平方向的分力为于是得到引力在水平方向的分力为2 3 2222d ()llxGamFy ay 在水平方向的分力元素为在水平方向的分力元素为22 3302222222d2d ()()lllxGamGamFyy ayay 2224Gm laal tanarctan22 3302secdsecly au aGamau uau 002cos dGmu ua 0l2a224al0arctan2l a02sinGm a yxOMaydyy2l2lr方向为方向为 M 指向细棒的中心所求力的大小为指向细棒的中心所求力的大小为2224Gm laal，由对称性，引力在铅直方向分力由对称性，引力在铅直方向分力0yF 小结小结1变力沿直线作功；变力沿直线作功；2水压力；水压力；3引力引力
