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1、1/62主讲 陶文铨主讲 陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2007年年10月月23日, 西安日, 西安第二章第二章 一维导热问题的数值解一维导热问题的数值解热流问题的数值计算热流问题的数值计算Numerical Simulations of Thermal ST=(2)3,5CPSS= 有多种处理方式：有多种处理方式：35 ;ST=+*35CST=+*37,2CPSTS=+= . . (3)242;ST=* 2() ()4(2) dSSSTTTdT=+=+*( 4)()TTT2*2*2*4244424T
2、TT TTT T=+=+CSPS20/622.2.2 第二、三类边界条件的处理第二、三类边界条件的处理一种方法是 补充以边界节点代数方程的方法对第二，第三类边界条件问题，边界温度未知，但它们进入到内点的离散方程中，因此需做处理才能使离散方程（代数方程）组封闭。一种方法是 补充以边界节点代数方程的方法对第二，第三类边界条件问题，边界温度未知，但它们进入到内点的离散方程中，因此需做处理才能使离散方程（代数方程）组封闭。边界节点代数方程生成法控制容积平衡法。边界节点代数方程生成法控制容积平衡法。（1）区域离散方法）区域离散方法A以进入区域的热量为正以进入区域的热量为正：Bq +1 11MMTT x+
3、0x S=i有源项有源项21/62由此可得：由此可得：11 1MMTT=+xx S +iiBqx i2()Ox可由可由Taylor展开法证明，其截差为：展开法证明，其截差为：（2）两种边界条件的统一表示方法对第三类边界条件，将边界热流表示成：）两种边界条件的统一表示方法对第三类边界条件，将边界热流表示成：1()BfMqh TT=（边界热流进入区域为正）（边界热流进入区域为正）代入上式中的代入上式中的Bq，经整理，得，经整理，得1 11()1MfMxx ShxTT Thx + = +iiii22/62Bq1fMhThT=1MqABT=第三类边界条件第三类边界条件第二类边界条件第二类边界条件1()
4、BfMqh TT=A=q第二类条件第二类条件fhT第三类条件第三类条件B =0h第二类条件第二类条件第三类条件第三类条件1 11()1MfMxx ShxTT Thx + = +iiii1 11 1MMxx SxT TxAB + = +iii此式适合于两种边界条件此式适合于两种边界条件23/62区域离散方法区域离散方法B的边界节点的控制容积为的边界节点的控制容积为零，零，只要令以上公式中的即得方法只要令以上公式中的即得方法B中的相应公式：中的相应公式：0x =第二类边界第二类边界11 1B MMqxTT =+i第三类边界第三类边界1 11()1MfMhxTT Thx + = +ii离散方法离散方
5、法B公式具有二阶截差的精度。公式具有二阶截差的精度。Bq +1 11MMTT x+0xS=i控制容积为控制容积为零零0（3）区域离散方法）区域离散方法B24/621 11()1MfMhxTT Thx + = +ii1 11 1MMxx SxT TxAB + = +iii,0fAhTBhx= =区域离散方法区域离散方法B,0,0Aq Bx= =11 1B MMqxTT =+i25/62（4）算例）算例已知已知220;0,0;1,1d TdTTxTxdxdx=求解求解区域内部23个节点的温度数值。区域内部23个节点的温度数值。 计算计算离散方法离散方法A，内部取，内部取2点，点，23,T T用二阶
6、截差离散，用二阶截差离散，4T用一阶截差离散：用一阶截差离散：4311/3TT=431/3TT=4T用二阶截差离散：用二阶截差离散：11 1MMTT=+xx S +iiBqx i2.2 边界条件与源项的处理（续）边界条件与源项的处理（续）26/62问题：源项是多少？问题：源项是多少？4ST= 节点4代表半个控制容积，所以根据方程节点4代表半个控制容积，所以根据方程220d TTdx=于是于是41 1113 634311T TT=+i ii43191 183TT=11 1MMTT=+xx S +iiBqx i边界节点不同截差离散对数值计算结果的影响边界节点不同截差离散对数值计算结果的影响27/6
7、2离散方法离散方法B，内部取，内部取3点，点，11 1B MMqxTT =+i按前述公式内部结点用二阶截差离散，边界节点按前述公式内部结点用二阶截差离散，边界节点234,T T T5T数值结果更接近与精确解数值结果更接近与精确解：28/622.3 一维非稳态导热问题一维非稳态导热问题2.3.1 一维非稳态导热控制方程的离散化一维非稳态导热控制方程的离散化2.3.2 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解数学上的稳定未必导致物理上有意义的解1. 控制方程控制方程2. 控制容积均分控制容积均分3. 一般化时间型线下的积分结果一般化时间型线下的积分结果4. 稳定性分析结果稳定性分析结果5. 一维非稳态
8、导热三种常见格式一维非稳态导热三种常见格式29/622. 控制容积均分控制容积均分2.3.1 一维非稳态导热控制方程的离散化一维非稳态导热控制方程的离散化1( )( )TddTcA xStA x dxdx=+1. 控制方程设与时间无关，在控制方程设与时间无关，在t时间间隔内对时间间隔内对P做积分：做积分：c1( )()( )()()( )()()()tt nneeEPwwPW PPPP ewtA x TTAx TTcAxx TTdtxx+ +=()ttCPP txSS T dt+ +需要选择对时间的型线需要选择对时间的型线空间阶梯型型线空间阶梯型型线30/623. 一般化时间型线下的积分结果一
9、般化时间型线下的积分结果(1), 01tt ttttTdtfTf Ttf+ +=+代入型线，积分可得：代入型线，积分可得：00(1)(1)PPEEEWWWa TafTf TafTf T=+00(1)(1)(1)( )( )PPEWPPCPTf af af S AxxS Aaxx+( )( ) ()()()eee E eeeEPA xA xaxxx += +( )( ) ()()()www W wwwPWAxAxaxxx += +0( )PEWPPPafafaafS Axx=+0( )P PcAxxc Vatt=31/624. 稳定性分析结果由稳定性分析结果由von Neumann分析法得：分析
10、法得：0.51,f初值问题格式绝对稳定；初值问题格式绝对稳定；00.5,f35/62这只有当这只有当1f =（全隐格式）才能满足。从物理上分析非稳态导热离散方程可写为：（全隐格式）才能满足。从物理上分析非稳态导热离散方程可写为：0 PPEEWWtPa Ta Ta TaTb=+0(1)(1)0EWPf afaa1 2(1)Fof要获得有物理意义的解，各影响系数均需大于零：要获得有物理意义的解，各影响系数均需大于零：pcxt1,x i2(1)f22()pta t cxx =36/622.4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法2.4.1 一维导热问题代数方程通用形式一维导热问题代数方程通用
11、形式2.4.2 Thomas算法的一般形式算法的一般形式(1) 消元过程把每行的未知数由三个减少为二个。消元过程把每行的未知数由三个减少为二个。(2) 回代过程从回代过程从M1点开始，项消元公式 逐一得出各点之值。点开始，项消元公式 逐一得出各点之值。37/622.4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法2.4.1. 一维导热问题代数方程通用形式稳态及非稳态隐式（一维导热问题代数方程通用形式稳态及非稳态隐式（f0)都要联立求解一组代数方程：都要联立求解一组代数方程：其系数矩阵是一三对角阵其系数矩阵是一三对角阵(Tri-diagonal matrix )。PPEEWWa Ta Ta Tb
12、=+每行三个未知数每行三个未知数38/622.4.2 Thomas算法的一般形式将上式改写为：算法的一般形式将上式改写为：端点条件：端点条件：i=1, Ci=0; iM1, Bi0(1) 消元过程消元过程把每行的未知数由三个减少为二个。把每行的未知数由三个减少为二个。设消元后方程形式为：设消元后方程形式为：11,1,2,.1iiiiiiiATBTCTD iM+=+=(a)111iiiiTP TQ=+系数移到等号后系数移到等号后(b)39/62所谓消元就是要找出系数所谓消元就是要找出系数Pi,Qi与与Ai,Bi,Ci,Di间的关系。间的关系。将将(b)乘以乘以Ci,并从并从(a)式减去：式减去：
13、11iiiiiiiATBTCTD+=+(a)(b)111iiiiiiiTPCTQCC=+1iiiiiATC P T=11iiiiiBTDCQ+1 1 11()iiii ii iiiiiiBDCQTTAC PAC P + +=+111iiiiTP TQ=+对照对照40/621;i i iiiBPAC P=11;iii i iiiDCQQAC P+=上式特点：数学上是上式特点：数学上是递归的（递归的（recurrent)首先必须知道首先必须知道P1，Q1。11,1,2,.1iiiiiiiATBTCTD iM+=+=(a)端点条件：端点条件：i=1, Ci=0; iM1, Bi0试重新审视式试重新审
14、视式(a)如果将如果将(a)式用于式用于i=1,则立即可得出则立即可得出i=1 时两点上未知量的关系式，将它与时两点上未知量的关系式，将它与(b) 相比就能得出相比就能得出P1，Q1。41/6211,0,iC=1 11 21ATBTD=+11 12 11BDTTAA=+1 1 1;BPA=1 1 1DQA=(2) 回代过程从回代过程从M1点开始，利用式点开始，利用式(b) 逐一得出逐一得出Ti。1111 11MMMMMA TB TD+=+端点条件：端点条件：i=1, Ci=0; iM1, Bi0011MTQ=逐一得出：逐一得出：TM11，.T2,T1 。42/62111iiiiTP TQ=+即
15、，利用：可由，逐一得出即，利用：可由，逐一得出1MT232, 1, .MMTTT T43/622.5 一维非稳态导热通用程序介绍一维非稳态导热通用程序介绍2.5.1 编制通用程序的一些基本考虑编制通用程序的一些基本考虑2.5.2 一维非稳态导热程序的功能与算法特点一维非稳态导热程序的功能与算法特点2.5.3 通用程序的模块结构与流程通用程序的模块结构与流程2.5.4 各模块的基本功能各模块的基本功能2.5.5 一维非稳态导热程序使用方法一维非稳态导热程序使用方法2.5.6 一维非稳态导热程序程序浏览一维非稳态导热程序程序浏览44/622.5 一维非稳态导热通用程序介绍一维非稳态导热通用程序介绍2.5.1 编制通用程序的一些基本考虑编制通用程序的一些基本考虑1. 从守恒型通用控制方程式出发建立离散方程，以使程序具有一定的通用性。从守恒型通用控制方程式出发建立离散方程，以使程序具有一定的通用性。2. 将程序分为不变的通用部分和与具体问题有关的用 户部分两大
