高考推荐资料------高中数学抛物线焦点弦模型

《高考推荐资料------高中数学抛物线焦点弦模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考推荐资料------高中数学抛物线焦点弦模型（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、高中数学第 1 页 共 15 页高中数学抛物线焦点弦模型高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于两点，则称线段为抛物线AB、AB的焦点弦。过抛物线的焦点弦的端点)0(22ppxyAB分别抛物线准线 的垂线，交 于，,A BllDC、构成直角梯形（图 1）.这个图形是抛物线ABCD问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，它又体现了解析几何的重要思想方法。在图 1 中，有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪些重要结论呢?【模型示例】设直线的倾角为，当时，称弦为AB=90ABx轴（）A

2、B通径。例 1. 求通径长.例 2 求焦点弦长.AB图 1高中数学第 2 页 共 15 页例 3. 求的面积.AOB例 4. 连,(2)CFDFCFDF，求证图例 5. 设准线 与轴交于点，求证：是与的比例中项，lxEFECEDE即 .2FECEDE例 6. 如图 3，直线交准线于，求证：直线 轴. （多种课本中的AOCxBC / 题目）例 7设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于)0(22ppxyFF两点.点在抛物线的准线上，且轴. 证明直线经过原点.BA,CxBC /AC高中数学第 3 页 共 15 页例 8. 证明：梯形中位线 MN 长为.2sinp 例 9. 连.,ANBNANBN、

3、图（5），证明：例 10. 求证：以线段为直径的圆与准线相切.AB例 11. 连 NF，证明：NFAB，且.2NFAFBF高中数学第 4 页 共 15 页例 12. 已知抛物线的焦点为 F，是抛物线的焦点弦，过 A、B 两点yx42AB分别作抛物线的切线，设其交点为 M. （I）证明：点在抛物线的准线上；M（）求证：为定值； FM ABOFMBAyx高中数学第 5 页 共 15 页【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了

4、解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。上面十多条结果归纳起来有：（1）焦点弦长（通径长） ；x=-p 2yxOMNFEDCBA高中数学第 6 页 共 15 页（2）的面积；AOB（3）梯形中位线长；（4）；2 21pyy（5）；AOBAFB，三点共线，三点共线（6）两组直角三角形： Rt ANBABNF:（斜边上的高为），以及相应的比例线段；Rt CFDFE:（斜边C D 上的高），（7）为直径的圆与准线相切；,MNAMBNAB以（8）过抛物线上两点的切线的交点落在准线上，且AB，G.GFAB图 7高中数学第 7 页 共 15 页【模型解析】设直线的倾角为，当时，称弦为通径。AB

5、=90ABx轴（）AB例 1 求通径长.解： 由于，=90ABx轴（）)0 ,2(pF当时，代入中，得2px)0(22ppxy22,.Bypp yp A，故y.2ABp例 2 求焦点弦长.AB解法一： 设，当),(),(2211yxByxA90ABp时，设直线的方程为: y=k(x-).2由得， .22,()2ypx pyk x22 222(2)04p kk xp kx. .1222(1)xxpk，准线方程，=ABAFBFADBC2px高中数学第 8 页 共 15 页.1212()22ppABxxxxp由知， .222.pABpk当，由（一）知.902ABp说明： tank2222222211

6、cossincos1111.tansinsinsink 因此，由 得22122 (1).sinpABpk特别，当是通径长。902 ,ABp时，上式为解法二：设.),(),(2211yxByxA902 ;ABp时，上式为.90AB时，设直线的方程为11()2tanpxmymk其中由 得22,2ypx pxmy2220.ypmyp.122,yypm2 12.y yp 222 1212()()ABxxyy22 1212()()22ppmymyyy222 1212()()myyyy高中数学第 9 页 共 15 页22 12(1)()myy.22 1212(1)()4myyy y（由得）2222(1)(

7、44)mp mp222=4(1) ,pm 22 (1).ABp m.2 2 2221cos1111tansinsinm .22=sinpAB例 3 求的面积.AOB解法一：直线的方程为：，即.AB2pxmy02pxmy（由得）, 2sin 21pm p 2原点O 到它的距离h=22112sin.22 sin22sinAOBpppSAB h 解法二：AOBAOFBOFSSS高中数学第 10 页 共 15 页12122 121211()22 1()2 2()44OFyOFypyypyyy y （由得）222444pp mp2 2p=12m（由得）2p1 2sin=.2sin2p例 4 连.,(2)

8、CFDFCFDF，证明：图证明：设，),(),(2211yxByxA则 ,21(,),(,)22ppCyDy2112 200. ()()2222CFDFyyy yKKppppp 2 12,y yp 故.1,CFDFKK CFDF例 5 设准线 与轴交于点，证明：是与的比例中项，lxEFECEDE图 2高中数学第 11 页 共 15 页即 .2FECEDE容易证明，留给读者完成。例 6 如图 3，直线交准线于，证明：直线 轴. （多种课本中的AOCxBC / 题目）分析：只要证两点纵坐标相同。CD、证明：设，则.),(),(2211yxByxA2 21pyy211 112 111022,0 2O

9、Ayypypx kyxy p它与准线方程联立,得12,pACyxy直线的方程为2px.21cpCyy 点纵坐标由得.2 21pyy12 2 1cy yyyy因此两点纵坐标相同，轴.CD、xBC /例 7 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于)0(22ppxyFF两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明：直线经过原点.BA,CxBC /AC分析：只要证.OCOAkk证法 1：如图 3，设，),(),(2211yxByxA再设直线的方程为.AB2pmyx图 3高中数学第 12 页 共 15 页， 2 21pyy2 112ypx,2222211112 11111121212 OAOCkxy yxy

10、yxpx yp pyp pyyy pyk 三点共线.,A O C证法 2：如图 4，设与相交于，准线与轴交于.ACEFNxE轴./ADx/ BC,CENCDA:.ANFACB:,ABBFACCNADEN（即） ，AD BFENAB（即）.ABAFBCNFAF BCNFAB又,BCBFADAF,ENNF即点是的中点，与抛物线的顶点重合，所以直线经过原点.NEFOO【专家点评】2001 年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第 8 题（系指） ，第 13 题（系指（六） ）的2 21pyy转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线的焦点为，pxy22F是抛物线上的

11、两点.点在它的准线上，且轴.则三点共线的BA,CxBC /COA,充要条件是共线。BFA,图 3图 4ED高中数学第 13 页 共 15 页【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线及图 3）：)0(22ppxy弦过焦点；点在准线上；ABFC轴； 过顶点.xBC /ACO可组成以下四个命题： （高考题）. A （课本题）.B是否正确？ D. C. 例 8 证明： 梯形中位线 MN 长为.2sinp 留给读者做。例 9 连.(ANBNANBN、图5），证明：证明较难，留作习题。例 10 证明：以线段为直径的圆与准线相切。AB由例 9，这个性质是显然成立的。例 11 连 NF，

12、证明：NFAB，且.2NFAFBF证明：设，),(),(2211yxByxA又设直线的方程为，则，AB2pmyx12(,)22yypN图 3图 5高中数学第 14 页 共 15 页（由得）1212+0+22-22-22NFyy yypmkpppp （）m 此即1,ABkm1,NFABkk .NFAB在为斜边上的高，故有Rt ANBNF:中，2.NFAFBF说明：在平面几何中，有下述定理：斜边上的高是Rt ABC:中，BCAD的比例中项。BDCD与例 12 已知抛物线的焦点为 F，是抛物线的焦点弦，过 A、B 两点yx42AB分别作抛物线的切线，设其交点为 M. （I）证明：点在抛物线的准线上；

13、M（）求证：为定值； FM AB证明：（I）设，),(),(2211yxByxA则由已知，22 12 12,44xxyy(0,1),F设直线的方程为：，则由AB1ykx214ykxxy 得2440,xkx. 421xx由得，所以过两点的切线方程分别为：2 41xy xy21BA,4)(21,4)(212 2 222 1 11xxxxyxxxxyOFMBAyx图 6高中数学第 15 页 共 15 页即 .421,4212 2 22 1 1xxxyxxxy【注：过点(的切线方程为：】pyx22),00yx)(00yypxx由上式可得22 12122().xx xxx显然 故12,xx1212112 11,1.22244xxxxxx xxyx 因此，.) 1,2(21 xxM由于抛物线准线方程为，故点在抛物线的准线上。1y M2222 22122112 212111(, 2) (,)0.24422xxxxxxFM ABxxxx 因此，为定值，其值为 0.FM AB